Page 24 - Bahan Ajar Kalkulus Lanjut

• Bila disubtitusikan (z didapat
g
)
0
g ) 0 (  = lim g (h ) − ) 0 ( g = lim f (x + ah ) − g (x 0 , y 0 ) = D f (x , y )
h→ 0 h h→ 0 h u 0 0

• Jika kita mendapat hubungan sbb:

g ) 0 ( = D u f (x 0 , y 0 ) ) 1 (

• Bila (z ditulis ulang sebagai:
)
g
g (z ) = f (x , ) y dimana x = x + az dan y = y + bz
0
0
• Dari aturan rantai didapat:

g (  z) = dg = f  . dx + f  . dy = f ( x, y) a + f ( x, y) b
dz x  dz y  dz x y

g (z ) = f x x , ( y )a + f y x , ( y )b ) 2 (

• Dengan memasukkan z = 0 didapat x = x dan y = y sehingga bila dimasukkan
0
0
kedalam persamaan (2), didapatkan:

g ) 0 ( = f x (x 0 , y 0 )a + f y (x 0 , y 0 )b ) 3 (

• Dari persamaan (1) sama dengan persamaan (3), sehingga:

( 
D f ( x , y )= g 0 = f x ( y , a ) + f x ( y , b )
)
u 0 0 x 0 0 y 0 0
• Bila x 0 , y disubstitusikan dengan x dan y (sebagai variabel) didaptkan rumus sebagai
0
berikut:

D f ( x, y)= f ( x , y a ) + f ( x , y b )

u x 0 0 y 0 0

Rumusan diatas lebih praktis dan sederhana dari definisi limit turunan berarah.
Rumusan yang sama dapat diperluas untuk fungsi lebih dari dua variabel. Misalkan untuk fungsi

f
f (x , , y ) z , turuna berarah dari (x , , y ) z dalam arah unit vektor u = a, b, c adalah:

D u f ( x, y, z) = f ( x, y, z) a + f ( x, y, z) b + f ( x, y, z) c
y
z
x

20