Page 22 - Bahan Ajar Kalkulus Lanjut

d(sin t) d(cos t) d(sin t)
r  t) ( = i + j + k
dt dt dt
= (cos i t , ) (− sin t , t) k
j (cos
)
,−
= cos t sin t cos t
,
Vektor gradien dari f
f  f  f 
 f (x , , y ) z = i + j + k
x  y  z 
 (x + y )z  (x + y )z  (x + y )z
= i + j + k
x  y  z 
= zi + zj + (x + y )k
= z , z ( , x + ) y

untuk  f (r (t )) = sin , t sin , t (sin t + cos ) t , dengan menggunakan aturan rantai

sehingga:
f ( = f ( r( t)). r (  t)

t) 
= sin t sin t (sin t + cos t . ) cos t,− sin t cos t
,
,
,
= sin t cos t + sin t. − sin t + (sin t + cos t cos t
).
.

= sin t cos t − sin 2 t + sin t cos t + cos 2 t
= 2 sin t cos t + cos 2 t − sin 2 t
= sin t 2 + cos t 2

Sehingga turunan f(t) dengan menggunakan vektor gradien diperoleh f ( = 2 sin t + cos t 2 .
t)

2.6.3 Turunan Berarah
Turunan parsial f x , (x ) y dan f y , (x ) y menyatakan laju perubahan dari f bila dapat

merubah x (dengan menahan y tetap) dan merubah y (dengan menahan x tetap). Pada bagian
ini akan dipelajari bagaimana perubahan f bila dibolehkan x dan y berubah bersamaan. Ada

banyak cara untuk membolehkan x dan y berubah bersamaan. Misalnya x berubah lebih cepat

dari y. Misalnya pada suatu titik ( x 0 , y ). Merubah x dengan laju positif dua kali lebih cepat
0
dari laju perubahan positif y.

Dalam turunan parsial dapat didefinisikan bahwa laju perubahan f yang dinyatakan
dengan ( yxf x , ) adalah dalam arah vektor ,1 0 , sedangkan laju perubahan f yang dinyatakan

18