Page 14 - E-MODUL INDUKSI MATEMATIKA_Ni Made Ayunda Dwi Candra P.S.

Contoh:

1 1 1 1
Tentukan rumus untuk + + + ⋯ + , kemudian buktikan bahwa
4 12 24 2 ( +1)
rumus tersebut menggunakan induksi matematika!
Alternatif Penyelesaian :

1 1 1 1
+ + + ⋯ +
4 12 24 2 ( + 1)
Permasalahan dapat kita mulai dengan menuliskan beberapa penjumlahan
pertama.

1 1 2
= = 2(1)(1+1)
1
4
1 1 4 2 2
= + = =
2
4 12 12 2(2)(2+1)
1 1 1 9 3 2
= + + = =
3
4 12 24 24 2(3)(3+1)
Dari barisan ini, tampak bahwa rumus penjumlahan k suku pertama adalah :

1 1 1 1 2
= + + + ⋯ + =

4 12 24 2 ( +1) 2 ( +1)

Untuk Membuktikan Kebenaran Hipotesis ini, kita menggunakan induksi
matematika. Perhatikan bahwa kita telah menguji rumus ini untuk n=1
sehingga kita mulai dengan menggagap bahwa rumus tersebut benar untuk
n=k dan mencoba untuk menunjukan bahwa rumus tersebut juga benar
untuk n=k+1

1 1 1 1 1
+1 = [ + 12 + 24 + ⋯ + 2 ( +1) ] + 2( +1)(( +1)+1)
4

= 2 + 1
2 ( +1) 2( +1)( +2)
2
= ( +2)+
2 ( +1)( +2)

2
= ( +2 +1)
2 ( +1)( +2)
= ( +1) 2
2( +1)(( +1)+1)
Jadi berdasarkan induksi matematika hipotesis tersebut benar

9