Page 36 - e-modul Aljabar Linear

Proposisi 1.27 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:
(a) Jika A mempunyai invers, maka juga mempunyai invers.

(b) Jika A dan B masing-masing mempunyai invers, maka AB juga

mempunyai invers dan

-1
(c) Jika A mempunyai invers, maka juga mempunyai invers dan =
.
t
Bukti.

(a) Diketahui A mempunyai invers yaitu . Oleh karena itu, dipenuhi

. Dari definisi invers matriks disimpulkan bahwa
.
-1

(b) Untuk membuktikan bahwa , dilakukan dengan

membuktikan . Pembuktian sifat tersebut dilakukan
dengan memanfaatkan sifat asosiatif dari perkalian matriks
sebagaimana berikut ini

.
Secara sama dapat dibuktikan juga .

(c) Diberikan sebarang matriks bujursangkar A yamh mempunyai invers.
Selanjutnya menggunakan sifat transpos diperoleh

.
t
t

t
t

Secara analog juga diperoleh . Jadi terbukti bahwa =
-1
.
Perhatikan kembali bahwa mencari solusi suatu sistem persamaan
linear selalu terkait dengan matriks. Hal ini memberikan pertanyaan
tentang adanya hubungan antara sifat-sifat matriks perluasan sistem
persamaan linear dan solusinya. Selanjutnya akan dibahas mengenai hal ini
khususnya terkait dengan matriks perluasan yang berukuran dan
bentuk eselon baris tereduksi matriks perluasan berukuran .

Jika suatu sistem persamaan linear mempunyai n persamaan dan n
variabel, maka matriks koefisiennya berbentuk bujursangkar. Dari fakta ini
diperoleh beberapa sifat sebagai berikut yang secara teknis akan
mempermudah dalam pencarian solusi suatu sistem persamaan linear.

Proposisi 1.28 Diketahui A merupakan matriks bujursangkar berukuran
. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:
(a) Matriks A mempunyai invers;

(b) Sistem persamaan linear Ax = b mempunyai tepat satu solusi;