Page 8 - Buku Kalkulus Variasi
P. 8
Pendahuluan
Dalam Fisika, peranan kalkulus sebagai salah satu alat untuk
menggambarkan dinamika dari suatu sistem memiliki peranan yang
sangat penting. Penerapannya dalam menggambarkan hukum gerak
Newton misalnya, melibatkan posisi ⃗ yang secara eksplisit dinyatakan
sebagai fungsi dari waktu dan memenuhi persamaan diferensial yang
sudah kita kenal. Jelas, pada dasarnya persamaan gerak Newton
digunakan untuk menentukan pola lintasan dari suatu benda akibat
kendala yang ditimbulkan oleh gaya yang bekerja padanya.
Hukum Newton pada dasarnya merupakan hukum empirik yang
diperoleh berdasarkan pengalaman sehari-hari. Secara matematika,
persamaan gerak Newton bagi sistem konservatif dapat diturunkan dari
suatu prinsip yang lebih umum yang dikenal sebagai prinsip Hamilton,
atau dikenal juga sebagai prinsip variasi, melalui pendefinisian ”aksi”
yang merupakan sebuah ”fungsional” berbentuk integral:
∫ ( ) (1)
̇
̇
dengan L merupakan suatu fungsi dari kecepatan dan
posisi r , yang notabene adalah fungsi dari waktu. Dalam prinsip ini,
persamaan dinamika Newton terkait dapat diturunkan dengan mencari
ekstremal dari fungsional aksi, yakni dengan melakukan ”variasi”
terhadapnya sedemikian rupa sehingga:
(2)
4
