Page 86 - 수학(하)

예제 11 무리함수의 식

y
b
무리함수 y = ax + + 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,
c
4
b
,
c
상수 ,ab c 에 대하여 a ++ 의 값을 구하시오.
2
O 4 x
유형
주어진 함수의 그래프는 y = ax 를 x 축의 방향으로 4 만큼, 개념 다지기 04
p +
y 축의 방향으로 2 만큼 평행이동시킨 것이므로 y = a x - g 2 y = a x - h q a ! 0g 그래프 유
4 + 이다.
^
]
]
이 그래프가 점 04h 를 지나므로 4 =- 4 a + 에서 a =- 이다. 함수 y = ax 의 그래프를 리
2
,
1
^
4
2
4 +
따라서 y = a x - g 2 = - 1 # ] x - g 2 = -+ + 에서 x 축의 방향으로 p 만큼, 함
4 +
x
]
수
y 축의 방향으로 q 만큼
c
1 ++
a =- 1 , b = 4 , c = 이므로 a ++ = - g 4 2 = 이다. 와
2
5
b
]
평행이동한 것이다.
무
리
예제 12 무리함수의 역함수
함
수
1
2
무리함수 y = x - + 의 역함수를 구하고, 그 역함수의 정의역과 치역을 구하시오.
y = x - + 에서 y - 1 = x - 2 이므로 양변을 제곱하면 y - h 2 x 2 y y = f ]g
1
2
1 =- 이다.
1
x
-
^
1 =-
1 + 이다.
]
x 와 y 를 서로 바꾸면 x - g 2 y 2 , y = ] x - g 2 2 y = x
그러므로 y = x - + 의 정의역은 xx $ 2, 이고 치역은 yy $ 1, 이므로
2
|
1
|
"
"
2 y = ]g
f x
역함수의 정의역은 xx $ 1, 이고 치역은 yy $ 2, 이다. 1
|
|
"
"
1 +
따라서 구하는 역함수는 y = ] x - g 2 2 ] x $ 1g 이다. O
1 2 x
예제 13 합성함수와 무리함수의 역함수
x
|
정의역이 xx > 1, 인 두 함수 f x = , g x = x - 에 대하여
1
] g
"
] g
x - 1
%
^ f % ^ gfh - 1 % f 2 ] h g 의 값을 구하시오.
%
%
f 2 =
f 2 = ^
]
]
^ f % ^ gfh - 1 % h g ff - 1 % g - 1 % f 2 = ^h g g - 1 % h g g - 1 ^ f 2 ] gh 이다.
]
2
f 2 =
이때 f 2 = 2 - 1 = 2 이므로 g - 1 ^ ] gh g - 1 2 ] g 이다.
]g
g - 1 ]g a 라 하면 g a = 이므로 a - 1 = 에서 a = 이다.
2 =
5
2
2
]g
%
5
f 2 =
^
]
따라서 f % ^ gfh - 1 % h g a = 이다.
예제 14 무리함수와 역함수의 교점의 거리
무리함수 f x = x - + 와 그 역함수 y = ]g 의 그래프의 두 교점 사이의 거리를 구하시오.
2
2
g x
]g
g xg 의 그래프의 교점은
f xg
두 함수 y = ] , y = ] y y = x
g x
y = ]g
f x
함수 y = ]g 와 직선 y = x 의 교점과 같다.
2
f x
2
x -+ 2 = x 에서 x - 2 = x - 이므로 양변을 제곱하면 3 y = ]g
2 =
2
x - 2 = ] x - g 2 x - x 4 + 4 , x - x 5 + 6 = 0 ] 2 ]g x - g 0 2
2
, x -
3 =
2
3
x = 또는 x = 이다. O
,
,
^
따라서 두 교점의 좌표는 22h , 33h 이므로 두 점 사이의 거리는 2 3 x
^
2 =
] 3 - 2 + ]g 2 3 - g 2 2 이다.
081