Page 46 - 수학(상)

알맹이 콕 !

. 1 복소수의 사칙연산
,
,
실수 ,ab cd 에 대하여
) 1 곱셈
2
] a + bic + di = ac + adi + bci + bdi = ] ac - bd + ]g ad + bc i g 이다.
g
] g
i =- 1
2
) 2 나눗셈
단원
분모의 켤레복소수를 분모, 분자에 각각 곱하여 분모를 실수로 만든 후 계산한다. 03
2
i =- 1
a + bi ] a + bic - dig ac - adi + bci - bdi 2 ac + bd bc - ad
] g
c + di = ] c + dic - dig = c - d i = c + d 2 + c + d 2 i 이다. 복
2 2
2
2
2
] g
2
i =- 1 소
. 2 켤레복소수의 성질
c
두 복소수 Z 1 = a + , bi Z 2 =+ di 에 대하여 수
1 ) Z 1 = a - bi = a + bi = Z 1 이다.
n
n
n
2 ) Z 1 = ] a + bi = ]g n a - bi = ] g 이다.
g
Z 1
3 ) Z 1 + Z 2 = ] a + bi + ]g c + di = ]g a - bi + ]g c - di = Z 1 + Z 2 이다.
g
4 ) Z 1 - Z 2 = ] a + bi - ]g c + di = ]g a - bi - ]g c - di = Z 1 - Z 2 이다.
g
5 ) Z 1 # Z 2 = ] a + bi # ]g c + di = ]g a - bi # ]g c - di = Z 1 # Z 2 이다.
g
c + di c - di Z 2
Z 2
) 6 = = = 이다.
Z 1 a + bi a - bi
Z 1
n
. 3 4주기로 순환하는 i 의 거듭제곱 i ]g (n 은 자연수 ) 의 성질
핵심 찌르기
9
5
n
4
i = i = i = g = i 4 n+ 1 = i # == i 1 = 1 5 = 1 9 = g = 1 n 1 = 1 = i 2 =- i
i
i
i i i i 4 + i i 허수 i 의 정의에서
i = i = i = g = i 4 + = i # i =- 1 1 2 = 1 6 = 1 10 = g = 1 n 2 = 1 2 =- 1
n 2
2
2
4
n
10
6
1
i i i i 4 + i i =- 이므로
i
n 3
7
11
4
2
n
3
i = i = i = g = i 4 + = i # i # =- i 1 3 = 1 7 = 1 11 = g = 1 n 3 = 1 3 = i 4 = i i =- 이다.
2
1
4
22
12
4
i = i = i = g = i = ] g n = - 1g 2 n = 1 i i i i 4 + i i
n
8
i
]
1 4 = 1 8 = 1 12 = g = 1 n = 1
i i i i 4
. 4 음수의 제곱근의 성질
l
b a >
) 1 a < 0 , b < 일 때, a =- al , b =- l l 0 , b > 0h 이라 하면
0
^
a # b =- l b = ai # bi = a # b i =- a b =- ] - g ] b =- ab 이다.
a # - l
l
ll
l
2
l
l
a - g
0
) 2 a > 0 , b < 일 때, b =- l l 0g 이라 하면 핵심 찌르기
b b >
]
a a a ai ai a a a 근호 두 개의 곱이 하나로
= = = =- =- i =- =- 이다.
b - bl bi l bi l 2 bl bl - bl b 합쳐질 때에는 근호 안의
2
2
참고 A < 이면 A # A = ^ A = , A A # A = A = A =- 이다. 수가 양수일 때만 가능하다고
A
0
h
생각한다.
. 5 시험에 자주 출제되는 복소수의 계산의 유형
2
i =
i =
2
) 1 ] 1 + g 2 1 + i 2 + i = 1 + i 2 - 1 = , i 2 ] 1 - g 2 1 - i 2 + i = 1 - i 2 - 1 =- i 2 이다.
3
2
4
i
1
) 2 순환하는 i 의 거듭제곱의 성질을 이용하면 i + i + i + i = -- + 1 = 이므로
0
i
98
6
99
5
100
3
2
8
7
97
4
3
i +
i + i + i + g + i + i + i 100 = ] i + i + i + i + ]g i + i + i + g g + ] i + i + i + i g = 0 이며
2
98
99
3
2
3
8
4
n
n
4
i +
4
따라서 i + i + i + g + i = ] i + i + i + i + ]g i + i + i + g g + i ] 4 n- 3 + i 4 n- 2 + i 4 n- 1 + i g = 0 이다.
7
5
2
6
1 1 1 1 i 1 i 1
0
i
i
순환하는 i 의 거듭제곱의 성질을 이용하면 + 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 4 + 4 =-- 1 ++ 1 = 이므로
i i i i i i i i
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ 2 + 3 + g + 98 + 99 + 100 = b + 2 + 3 + 4 + bl 5 + 6 + 7 + 8 + g + b 97 + 98 + 99 + 100 = 0 이며
l
l
i i i i i i i i i i i i i i i i i i
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
n =
l
따라서 i + i 2 + i 3 + g + i 4 n = b i + i 2 + i 3 + i 4 + bl i 5 + i 6 + i 7 + i 8 + g + b i 4 n- 3 + i 4 n- 2 + i 4 n- 1 + i 4 l 0 이다.
1 + i ] 1 + ig 2 i 2 i 2 1 - i ] 1 - ig 2 - i 2 - i 2
3 ) x = 1 - i = ] 1 - ]g ig = 1 - i 2 = 1 + 1 = , ix = 1 + i = ] 1 + ]g ig = 1 - i 2 = 1 + 1 =- i 이다.
i 1 +
i 1 -
1 + i 1 + i 2 i 2 1 - i 1 - i 2 - i 2
2
2
4 ) x = 이면 x = d n = = , i x = 이면 x = d n = =- i 이다.
] g
2 2 2 2 2 2
041