Page 45 - 수학(상)

개 념 02 복소수의 연산

. 1 복소수의 사칙연산

,
,
실수 ,ab cd 에 대하여
) 1 덧셈
d i
실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 더한다. a + bi + ]g c + di = ]g a + c + ]g b + g
]
) 2 뺄셈
실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 뺀다. a + bi - ]g c + di = ]g a - c + ]g b - g
d i
]
) 3 곱셈
분배법칙을 이용하여 전개한 다음 i =- 을 이용하여 계산한다. a + bic + di = ]g ac - bd + ]g ad + bc i g
1
2
] g
]
) 4 나눗셈
분모의 켤레복소수를 분모, 분자에 각각 곱하여 분모를 실수로 만든 후 계산한다.
a + bi = ac + bd bc - ad ( i 단, c + di !
c + di c + d 2 + c + d 2 ) 0 이다.
2
2
. 2 켤레복소수의 성질
c
두 복소수 Z 1 = a + , bi Z 2 =+ di (단, ,ab cd 는 실수 )에 대하여
,
,
n
) 1 Z 1 = Z 1 ) 2 Z 1 = ]g n ) 3 Z 1 + Z 2 = Z 1 + Z 2
Z 1
) 4 Z 1 - Z 2 = Z 1 - Z 2 ) 5 Z 1 # Z 2 = Z 1 # Z 2 ) 6 Z 2 = Z 2 ] Z 1 ! 0g
Z 1
Z 1
n
. 3 4주기로 순환하는 i 의 거듭제곱 i ]g (n 은 자연수)의 성질
9
n 1
5
i = i = i = g = i 4 + = i 1 = 1 5 = 1 9 = g = 1 n 1 =- i 1 1 =- i 1
# i i i i i i 4 + # i i # i
#
i
n 2
6
2
10
i = i = i = g = i 4 + =- 1 1 2 = 1 6 = 1 10 = g = 1 n 2 =- 1
i i i i 4 +
3
11
n 3
i = i = i = g = i 4 + =- i 1 3 = 1 7 = 1 11 = g = 1 n 3 = i 1 i 2 =- 1 1 i 4 = 1
7
4
i =
2
i =-
1
1
i i i i 4 +
n
8
4
1
12
i = i = i = g = i = 1 1 1 1
4
# i i 4 = i 8 = i 12 = g = i 4 n = 1 # 1 1 # 1
i =- i # i i i 3 = i i
3
. 4 음수의 제곱근의 성질
0
) 1 a < 0 , b < 인 경우에는 ab =- ab 이며 a < 0 , b < 인 경우를 제외하면 ab = ab 이다.
0
a a a a
0
) 2 a > 0 , b < 인 경우에는 =- 이며 a > 0 , b < 인 경우를 제외하면 = 이다.
0
b b b b
5. 시험에 자주 출제되는 복소수의 계산의 유형
i =
i =-
) 1 ] 1 + g 2 , i 2 ] 1 - g 2 i 2 이다.
1 1 1 1
4
2 ) i + i + i + g + i = , 0 + 2 + 3 + g + n = 0 이다.
3
2
n
i i i i 4
1 - i 1 + i
3 ) x = =- , i x = = i 이다.
1 + i 1 - i
1 + i 1 - i
4 ) x = 이면 x = , i x = 이면 x =- 이다.
i
2
2
]g
2 2
2
x =- 이면 x =
i
5 ) x = 이면 x = ! 2 2 ] 1 + , ig ] g 2 i ! 2 2 ] 1 - ig 이다.
1
-+ 3 i -- 3 i
1
, x -
2
6 ) x = 1 ] 1 ]g x + + g 0 > bg라 하면 a = , b = 이다.
x
3
1 = 의 두 허근을 ,ab a ]
2 2
2
b
3
3
2
1 ]g a + a + 1 = , 0 b + + 1 = , 0 a = , 1 b = 1 ]g b = b 2 , b = a = a 2
3 a =
2 ]g 근과 계수의 관계에 의하여 a + b =- , 1 ab = 1 ]g a =- , 1 b + b =- , 1 aa = , 1 bb = 1
4 a +
040 Ⅱ. 방정식과 부등식