Page 53 - 수학(상)

개 념 01 이차방정식의 판별식(),D 근과 계수의 관계

. 1 이차방정식의 실근과 허근
- b ! b - 4 ac
2
계수 ,ab c 가 실수인 이차방정식 ax + bx + = 의 근은 x = 이고,
c
2
,
0
2 a
0
2
0
2
2
2
여기서 b - 4 ac $ 이면 b - 4 ac 는 실수, b - 4 ac < 이면 b - 4 ac 는 허수이므로
이차방정식은 항상 복소수인 근을 갖는다.
이때 실수인 근을 실근, 허수인 근을 허근이라 하고, 특히 두 근이 같을 때 이 근을 중근이라 한다.
. 2 이차방정식의 판별식 D
]g
- b ! b - 4 ac
2
2
0
c
2
이차방정식 ax + bx + = 의 근 x = 의 근호 안의 식 b - 4 ac 의 값의 부호에
2 a
0
2
c
2
따라 근의 종류가 판별된다. 이때 b - 4 ac 를 이차방정식 ax + bx + = 의 판별식이라 하고
기호 D 로 나타낸다. 특히 x 의 계수 b 가 짝수이면 b = b 2 , l 즉 ax + 2 l c 0
2
bx + = 이면
D = l 2 D = l 2
b -
b -
4 ac 이므로 4 ac 를 이용하여 근을 판별할 수도 있다.
2
-+ b - 4 ac -- b - 4 ac
b
2
b
0
) 1 D > 이면 서로 다른 두 실근 와 를 갖는다.
2 a 2 a
b
0
) 2 D = 이면 서로 같은 두 실근(중근 ) - 를 갖는다.
2 a
b 2
a x +
2
이때 이차방정식 ax + bx + = 은 x 에 대하여 완전제곱식, 즉 ax + bx + = b l = 0 이다.
0
c
c
2
2 a
b
2
-+ b - 4 ac -- b - 4 ac
b
2
0
) 3 D < 이면 서로 다른 두 허근(켤레복소수 ) 2 a 와 2 a 를 갖는다.
P
0
) 4 이차방정식 ax + bx + = 에서 a 와 c 의 부호가 다르면 항상 서로 부호가 다른 두 실근을 갖는다.
2
c
. 3 이차방정식의 근과 계수의 관계
c
2
) 1 이차방정식 ax + bx + = 0 ] a > 0g 의 두 근을 , ab a ] > bg , 판별식을 D 라 하면
b c D
a + b =- , a # b = , a - b = 이다.
a a a
) 2 이차방정식 ax + bx + = 0 ] c ] 0g 의 두 근이 ,ab 이면 두 근이 1 , 1 인 이차방정식은
2
c
a b
1 1 b 1 1 a
cx + bx + a = 이다. 따라서 a + b =- c , a # b = c 이다.
2
0
1 1 b 1 a
) 3 ax + bx + a = 0 ] a ] 0g 의 두 근이 ,ab 이면 a + b = a + b =- a , ab = ab = a = 1이다.
2

4. 이차방정식의 켤레근의 성질
2
이차방정식 ax + bx + = 의 두 근을 ,ab 라 하면
0
c
,
) 1 계수 ,ab c 가 유리수일 때
a = p + q m 이면 b = p - q m 이다. (단, ,pq 는 유리수, m 은 무리수 )
) 2 계수 ,ab c 가 실수일 때
,
a = p + qi 이면 b = p - qi 이다. (단, ,pq 는 실수 )
5. 두 근을 알 때, 이차방정식 만들기
b c
2
이차방정식 ax + bx + = 의 두 근을 ,ab 라 하면 근과 계수의 관계에 의하여 a + b =- a , ab = a
c
0
b c
c
이므로 ax + bx + = b 2 a x + a l = " 2 a + bh x + ab = ] a ^ x - bh 이다.
a x +
2
,
a x - g
a x - ^
048 Ⅱ. 방정식과 부등식