Page 57 - 수학(상)

3. 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
2
이차함수 y = ax + bx + 의 그래프와 직선 y = mx + 의 교점의 x 좌표는 이 두 식을 연립한
n
c
2
이차방정식 ax + bx + = mx + 에서 ax + ] b - m x +- n = 의 실근이다.
2
n
0
c
c
g
2
따라서 이차함수 y = ax + bx + 의 그래프와 직선 y = mx + 의 위치 관계는 이차방정식
c
n
2
0
c
ax + ] b - m x +- n = 의 판별식을 D 라 할 때, D 의 부호에 따라 다음과 같이 결정된다.
g
판별식의 부호 D > 0 D = 0 D < 0
교점 관계 서로 다른 두 점에서 만난다. 한 점에서 만난다.(접한다.) 만나지 않는다.
위치 관계

알맹이 콕 !

. 1 이차방정식의 실근의 부호
2
,
계수가 실수인 이차방정식 f x = ax + bx += 0 ] a > 0g 의 두 근을 ,ab 판별식을 D 라 하면
c
] g
허수는 음수도 양수도 0 도 아니기 때문에 이차방정식이 실근을 가질 경우에는
어느 경우이든 D $ 0 의 조건이 필요하다.
) 1 직선 x = 0 기준
1 ]g 두 근이 모두 양수일 때 ( 두 근이 모두 0 보다 클 때 )
1
0
예를 들어 a = , 3 b =- 일 경우 a + b = 3 - 1 = 2 > 을 만족하나 b 는 음수이므로 두 근이 모두 양수이려면
b c
D $ , 0 a + b =- a > , 0 ab = a > 0 의 조건을 만족하여야 한다.
2 ]g 두 근이 모두 음수일 때 ( 두 근이 모두 0 보다 작을 때 )
예를 들어 a = , 3 b =- 일 경우 a + b = 3 - 4 =- 1 < 을 만족하나 a 는 양수이므로 두 근이 모두 음수이려면
0
4
b c
D $ , 0 a + b =- a < , 0 ab = a > 0 의 조건을 만족하여야 한다.
3 ]g 두 근의 부호가 반대일 때 ( 두 근이 0 사이에 있을 때 )
c
2
0
0
ab = a < 0 일 때에는 ac < 에서 항상 D = b - 4 ac > 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
따라서 ab = a c < 0 이면 두 근의 부호는 반대이다. 이때 D 의 부호를 조사할 필요가 없다.
) 2 직선 x = p 기준
2
- b ! b - 4 ac b
0
2
c
이차방정식 f x = ax + bx += 의 근 x = 2 a 에서 근호를 제외한 직선 x =- 2 a 를 대칭축이라 한다.
]g
참고 대칭축은 꼭짓점의 x 좌표이므로 미분을 이용하여 대칭축을 구하면 f x = 2 ax + = 에서 x =- 2 b a 이다.
b
0
l]g
1 ]g 두 근이 모두 p 보다 클 때 2 ]g 두 근이 모두 p 보다 작을 때 3 ]g 두 근이 p 사이에 있을 때
b b
대칭축 x =- 대칭축 x =- 2 a y
y x = p 2 a y x = p x = p
D = 0 D = 0
D > 0 D > 0
O p a b x O a b p x O a p b x
a = b a = b

052 Ⅱ. 방정식과 부등식