Page 59 - 수학(상)

예제 09 이차함수의 그래프와 x 축의 위치 관계

다음 이차함수의 그래프와 x 축의 교점의 개수를 구하시오.
1 ]g y = x 2 + - 2 ]g y = x 3 - 2 3 x + 3 ]g y = x - x 2 + 3
x
2
2
1
2
2
2
2
0
c
이차방정식 ax + bx + = 의 판별식을 D = b - 4 ac 라 하면 개념 다지기
2
c
2
0
2 =
1 ]g D = 1 - 4 ## - g 17 > 이므로 이차함수의 그래프는 x 축과 이차함수 y = ax + bx + 의
2
]
그래프와 x 축의 교점
서로 다른 두점에서 만난다. 따라서 이차함수와 x 축의 교점의 개수는 2 이다.
2
이차방정식 ax + bx + = 0 의 판별식
c
0
참고 ac < 이므로 이차함수와 x 축의 교점의 개수는 2 이다. D 의 부호에 따라 결정된다.
D 2 1 ]g D > 0 이면 서로 다른
2 ]g = ^ 3 - 3 # 1 = 0 이므로 이차함수의 그래프는 x 축과
h
4 두 점에서 만난다.
한 점에서 만난다. 따라서 이차함수와 x 축의 교점의 개수는 1 이다.
2 ]g D = 0 이면 한 점에서 만난다.
D 2 3 ]g D < 0 이면 만나지 않는다.
3 ]g = 1 - 1 # 3 =- 2 < 이므로 이차함수의 그래프는 x 축과
0
4
4 ]g a 와 c 의 부호가 서로 다르면
만나지 않는다. 따라서 이차함수와 x 축의 교점의 개수는 0 이다.
서로 다른 두 점에서 만난다.
예제 10 이차함수의 그래프와 x 축의 위치 관계
이차함수 y = x - 2 kx + k 3 - 의 그래프와 x 축의 위치 관계가 다음과 같을 때,
2
2
실수 k 의 값 또는 범위를 구하시오.
1 ]g 서로 다른 두 점에서 만난다. 2 ]g 한 점에서 만난다. 3 ]g 서로 만나지 않는다.
D
0
2 =
2
이차방정식 x - 2 kx + k 3 - 2 = 의 판별식을 D 라 하면 4 = k - ] k 3 - g k - k 3 + 2 = ] k - 1 ]g k - 2g 이다.
2
2
D
1 ]g 서로 다른 두 점에서 만나려면 = ] k - 1 ]g k - g 0 1 2
2 > 이므로 k 의 값의 범위는 k < 또는 k > 이다.
4
D
2 = 이므로 k 의 값은 k = 또는 k = 이다.
2 ]g 한 점에서 만나려면 = ] k - 1 ]g k - g 0 1 2
4
D
2 < 이므로 k 의 값의 범위는 1 <
3 ]g 서로 만나지 않으려면 = ] k - 1 ]g k - g 0 k < 2 이다.
4
예제 11 이차함수의 그래프와 x 축의 위치 관계
이차함수 y = x - x 2 - 의 그래프와 x 축의 교점의 x 좌표를 각각 ,ab 라고 할 때,
2
1
3
3
a + b 의 값을 구하시오.
이차함수 y = x - x 2 - 의 그래프와 x 축의 교점의 x 좌표 ,ab 는 개념 다지기
2
1
2
c
0
이차방정식 x - x 2 - 1 = 의 근과 같으므로 이차함수 y = ax + bx + 의 그래프와 x 축의 교점
2
2
c
이차방정식 ax + bx + = 0 의 근과 같다.
1
이차방정식의 근과 계수의 관계에서 a + b = , 2 ab =- 이므로
a + b = ^ a + h 3 3ab a + h 2 - 3 # - g 2 = 14 이다.
3
1 #
b -
3
b =
3
]
^
예제 12 이차함수의 그래프와 x 축의 위치 관계
2
k
이차함수 y = x - x 2 +- 의 그래프와 x 축이 서로 다른 두 점 ,AB 에서 만난다.
1
2
AB = 일 때, 상수 k 의 값을 구하시오.
이차함수 y = x - x 2 +- 의 그래프와 x 축의 교점의 x 좌표를 개념 다지기
2
k
1
2
c
k
2
0
, ab a > bh 라 하면 ,ab 는 이차방정식 x - x 2 + - 1 = 의 근과 같다. 이차방정식 ax + bx + = 0 의 근을
^
D
2 - ]
] - g 2 4 k - 1g , ab 라 하면 a - b = 이다.
주어진 조건에서 AB = a - b = 2 이므로 a - b = 1 = 2 이다. a
4
1
따라서 4 - k 4 + 4 = 에서 k = 이다.
054 Ⅱ. 방정식과 부등식