Page 61 - 수학(상)

개 념 03 이차함수의 최대, 최소

2
c
. 1 이차함수 y = ax + bx + 의 최대값과 최솟값
,
계수 ,ab c 가 실수인 이차방정식 y = ax + bx + 의 최대, 최소는 이차함수의 식을 표준형인
c
2
a x -
2
n
y = ] m + 의 꼴로 변형한 후 다음과 같이 구한다.
g
y y
) 1 a > 이면 x = m 일 때, 최솟값은 n 이고 a > 0 꼭짓점
0
,
이때 mnh 은 꼭짓점의 좌표이며 최댓값은 없다. 꼭짓점 최댓값 n a < 0
^
0
) 2 a < 이면 x = m 일 때, 최댓값은 n 이고 최솟값 n
,
이때 mnh 은 꼭짓점의 좌표이며 최솟값은 없다. O m x O m x
^
a x -
2
2. 제한된 범위 a # x # b 에서 이차함수 f x = ] m + n 의 최대값과 최솟값
] g
g
a x -
n
2
x 의 값의 범위가 a # x # b 일 때, 이차함수 f x = ] m + 은
g
] g
) 1 꼭짓점의 x 좌표 m 이 x 의 값의 범위에 포함되는 경우
a # m # b 일 때, f ag , f b ] g , f mg 의 값 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.
]
]
2) 꼭짓점의 x 좌표 m 이 x 의 값의 범위에 포함되지 않는 경우
m < a 또는 m > b 일 때, f ag , f b ] g의 값 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다.
]
a # m # b 일 때 m < a 또는 m > b 일 때
a > 0 a < 0 a > 0 a < 0
최대 최대 최대 최대
최소 최소 최소 최소
a m b x a m x
a m b x m a b x b
]
f ag , f b ] g , f mg 의 값 중에서 가장 큰 값이 f ag , f b ] g의 값 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고,
]
]
최댓값이고, 가장 작은 값이 최솟값이다. 가장 작은 값이 최솟값이다.
알맹이 콕 !

c
. 1 이차함수 y = ax + bx + 의 꼭짓점
2
계수 ,ab c 가 실수인 이차방정식 y = ax + bx + 를 표준형으로 변형하면
2
c
,
2
2
ax +
2
a x +
y = ax + bx += b 2 a b x + = & 2 b a x + b 2 b a l 2 - b 2 b a l 0 += b 2 b a l 2 - 4 b a 2 + c = b 2 b a l 2 - b - a 4 ac
a x +
ax +
c
c
c
l
4
2
b b - 4 ac
따라서 꼭짓점의 좌표는 - 2 a , - 4 a l 이다.
b
l
b
0
참고 미분을 이용하여 구하면 꼭짓점의 접선의 기울기가 0 이므로 x 에 대하여 미분하면 y = 2 ax + = 이다.
D > 0 D = 0 D < 0
b
- 꼭짓점
2 a
a b x b
-
2 a 꼭짓점
꼭짓점 a = b x - 2 b a x
a + b b a + b b
2 =- 2 a 이므로 꼭짓점의 꼭짓점의 x 좌표는 중근이다. 2 =- 2 a 이므로 꼭짓점의
x 좌표는 두 실근의 중점이다. x 좌표는 두 허근의 중점이다.
056 Ⅱ. 방정식과 부등식