Page 62 - 수학(상)

예제 16 이차함수의 최대, 최소

다음 이차함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하시오.
2
2
4
1 ]g y = x - x 2 + 2 ]g y =- x + x 4 - 2
4
2
1 ]g y = x - x 2 + 를 이차함수의 표준형으로 변형하면 y = ] x - g 2 3
1 + 이므로
1
x = 일 때 최솟값은 3 이고 최댓값은 없다.
2
2 ]g y =- x + x 4 - 를 이차함수의 표준형으로 변형하면 y =-] x - g 2 2 단원
2
2 + 이므로
2
x = 일 때 최댓값은 2 이고 최솟값은 없다. 04
b 이
c
2
다른풀이 y = ax + bx + 에서 꼭짓점의 x 좌표 x =- 2 a 암기
차
- 2
2
4
1 ]g 꼭짓점의 x 좌표는 x =- = 1 이므로 y = x - x 2 + 에 대입하면 y = 이다. 방
3
2
1
따라서 꼭짓점의 좌표는 ,13h 이므로 x = 일 때 최솟값은 3 이고 최댓값은 없다. 정
^
4 식
2
2
2 ]g 꼭짓점의 x 좌표는 x =- - 2 = 2 이므로 y =- x + x 4 - 에 대입하면 y = 이다. 과
2
,
2
따라서 꼭짓점의 좌표는 22h 이므로 x = 일 때 최댓값은 2 이고 최솟값은 없다.
^
이

꼼수풀이 미분 이용 (등급 UP 01 참조) 차

함
l
0
1
1 ]g 꼭짓점에서 접선의 기울기는 0 이므로 x 에 대하여 미분하면 y = x 2 - 2 = 에서 x = 이므로 수
y = x - x 2 + 에 대입하면 y = 이다.
2
3
4
1
따라서 꼭짓점의 좌표는 ,13h 이므로 x = 일 때 최솟값은 3 이고 최댓값은 없다.
^
2 ]g 꼭짓점에서 접선의 기울기는 0 이므로 x 에 대하여 미분하면 y =- x 2 + 4 = 에서 x = 이므로
2
0
l
2
2
y =- x + x 4 - 에 대입하면 y = 이다.
2
따라서 꼭짓점의 좌표는 22h 이므로 x = 일 때 최댓값은 2 이고 최솟값은 없다.
,
2
^
예제 17 이차함수의 최대, 최소
다음을 구하시오.
-
1
2
q
1 ]g 이차함수 y = x 2 + px + 가 x = 에서 최솟값 4 를 가질 때, 상수 ,pq 의 값
k
2
2 ]g 이차함수 y =- x + x 2 + 의 최댓값이 3 일 때, 상수 k 의 값
2
2
2
-
1 -
2
1
2
1 ]g x = 에서 최솟값 4 를 가지므로 y = ] x - g 2 4 = x 2 - x 4 - 에서 p =- 4 , q =- 이다.
k k k k
2
2 ]g y =- x + x 2 + 2 =-] x - g 2 1 2 에서 x = 일 때, 최댓값 1 + 2 를 가지므로 1 + 2 = 3 에서 k = 4 이다.
1
1 ++
예제 18 제한된 범위에서의 이차함수의 최대, 최소
2
다음 주어진 범위에서 이차함수 y = x - x 2 + 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
4
-
-
2
1 ]g 1 # x # 2 ]g 1 # x # 0
먼저 꼭짓점의 x 좌표가 주어진 범위에 포함되는지를 확인한다.
2
꼭짓점에서 접선의 기울기는 0 이므로 이차함수 y = x - x 2 + 를 x 에 대하여 미분하면
4
l
-
0
-
y = x 2 - 2 = 에서 x = 이므로 1 ]g 1 # x # 는 포함되고 2 ]g 1 # x # 은 포함되지 않는다.
0
2
1
1
1
-
2
1 ]g x = 이 주어진 범위 1 # x # 에 포함되므로 x = 일 때 최솟값을, x =- 일 때 최댓값을 갖는다.
1
따라서 x = 일 때 y = 1 - + 4 = 이므로 최솟값은 3 이고
1
3
2
2
1
x =- 일 때 y = 1 + + 4 = 7 이므로 최댓값은 7 이다.
0
1
-
0
2 ]g x = 이 주어진 범위 1 # x # 에 포함되지않으므로 x = 일 때 최솟값을, x =- 일 때 최댓값을 갖는다.
1
따라서 x = 일 때 y = 4 이므로 최솟값은 4 이고
0
1
x =- 일 때 y = 1 + + 4 = 7 이므로 최댓값은 7 이다.
2
057