Page 60 - 수학(상)

예제 13 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

다음 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 개수를 구하시오.
3
2
x
1
x
1 ]g y = x 2 - x 3 - 2 , y = + 2 ]g y = x - + 1 , y = x 3 - 3 ]g y = x 2 - x 2 + 5 , y =- x 5 + 2
2
2
2
0
c
2
이차방정식 ax + bx + = 의 판별식을 D = b - 4 ac 라 하면 개념 다지기
1 ]g 두 식 y = x 2 - x 3 - 2 , y = + 을 연립하여 이차방정식을 만들면 이차함수 y = ax + bx + 의 그래프와
1
2
x
2
c
2
2
x
x2 - x 3 - 2 =+ 에서 x - x 4 - 3 = x 2 - 2 # x 2 - 3 = 이다. 직선 y = mx + n 의 교점의 개수 단원
2
0
2
1
D 두 식을 연립한 이차방정식 04
3 =
0
2
따라서 = 2 - 2 # - g 10 > 이므로 이차함수의 그래프와 직선은
]
4
2
ax + bx + = mx + , n
c
서로 다른 두점에서 만난다. 따라서 이차함수와 직선의 교점의 개수는 2 이다. 이
2
c
g
ax + ] b - m x +- n = 0 과 차
2 ]g 두 식 y = x - + 1 , y = x 3 - 을 연립하여 이차방정식을 만들면
3
2
x
x 축의 교점의 개수와 같다. 방
2
x
x -+ 1 = x 3 - 에서 x - x 4 + 4 = x - 2 # x 2 + 4 = 이다. 정
0
2
2
3
D
2
0
따라서 = 2 - 1 # 4 = 이므로 이차함수의 그래프와 직선은 식
4
과
한 점에서 만난다. 따라서 이차함수와 직선의 교점의 개수는 1 이다.
이
2
2
3 ]g 두 식 y = x 2 - x 2 + 5 , y =- x 5 + 을 연립하여 이차방정식을 만들면
차
2
2
x2 - x 2 + 5 =- x 5 + 에서 x + x 3 + 3 = 이다.
2
2
0
함
0
2
따라서 D = 3 - 4 ## 3 =- 15 < 이므로 이차함수의 그래프와 직선은 수
2
서로 만나지 않는다. 따라서 이차함수와 직선의 교점의 개수는 0 이다.
예제 14 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
2
이차함수 y = x - kx + k 3 의 그래프와 직선 y = kx + 의 위치 관계가 다음과 같을 때,
2
실수 k 의 값 또는 범위를 구하시오.
1 ]g 서로 다른 두 점에서 만난다. 2 ]g 한 점에서 만난다. 3 ]g 서로 만나지 않는다.
2
두 식 y = x - kx + 3 , ky = kx + 를 연립하여 이차방정식을 만들면 x - kx + k 3 = kx + 에서
2
2
2
2
x - 2 kx + k 3 - 2 = 이므로
0
D
2
2
0
이차방정식 x - 2 kx + k 3 - 2 = 의 판별식을 D 라 하면 4 = k - ] k 3 - g k - k 3 + 2 = ] k - 1 ]g k - 2g 이다.
2 =
2
D
2 > 이므로 k 의 값의 범위는 k < 또는 k > 이다.
1 ]g 서로 다른 두 점에서 만나면 = ] k - 1 ]g k - g 0 1 2
4
D
2 = 이므로 k 의 값은 k = 또는 k = 이다.
2 ]g 한 점에서 만나면 = ] k - 1 ]g k - g 0 1 2
4
예제 15 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계
b
이차함수 y = x + ax + 의 그래프와 직선 y = x 3 - 는 서로 다른 두 점에서 만난다.
2
2
이 중 한 교점의 x 의 좌표가 1 - 2 일 때, 유리수 ,ab 의 값을 구하시오.
2
2
두 직선 y = x + ax + , by = x 3 - 를 연립하여 이차방정식을 만들면
x + ax + = x 3 - 에서 x + ] a - 3g x ++ 2 = 이다.
b
2
2
b
2
0
이때 ,ab 가 유리수이고 한 근이 1 - 2 이므로 다른 한 근은 1 + 2 이다.
따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
b
3
2
^
h
h
^ 1 + 2 + ^h 1 - 2 =-] a - 3g , 1 + 2 # ^h 1 - 2 =+ 에서 a = 1 , b =- 이다.
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