Page 64 - 수학(상)

2. 방정식의 근을 함수의 그래프로 해석하기

다음 식 ①, ②, ③은 같은 방정식이다.
2
2
x - x 2 - 8 = 0 gg ①, x - x 2 = 8 gg ②, x = x 2 + 8 = 0 gg ③
2
①, ②, ③의 방정식을 함수의 그래프로 해석하면
① x - 2 x - 8 = 0 ② x - 2 x = 8 ③ x = 2 x + 8
2
2
2
x - x 2 - 8 = ] x - 4 ]g x + g 0 x - x 2 = ] 2 = 이므로 x = x 2 + 이므로 단원
2
8
2
2
8
2 = 이므로
x x - g
04
2
8
8
2 = 이라 하면
x x - g
y = ] x - 4 ]g x + g 0 y = ] 2 = 이라 하면 y = x = x 2 + 이라 하면
이
x x -
2
y = x - x 2 - 8 y = ] 2g y = x 2
) ) ) 차
y = 0 y = 8 y = x 2 + 8
방
y y y 2 정
x x -
y = ] 2g y = x 식
y = x - x 2 - 8 8 16
2
과
y = 0 교점 y = 8 교점 교점 교점
- 2 4 O 2 y = x 2 + 8 8 이
O x - 2 4 x 4 차
교점 교점 함
- 2 O 4 x
수
) 1 ①, ②, ③의 두 그래프의 교점의 y 좌표는 다르나, x 좌표는 같다.
) 2 방정식의 근은 각각의 두 그래프의 교점의 x 좌표이다.
) 3 일반적으로 방정식 ①의 풀이가 쉽기 때문에 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여
우변을 0 으로 만든 후 방정식을 푼다.
3. 2 차함수의 그래프의 평행이동
y y = ] x - g 2 2
3 +
예를 들어 함수 y = x 2 의 그래프를 x 축의 방향으로 3 만큼,
2
y 축의 방향으로 2 만큼 평행이동한 그래프는
함수 y = x 2 에 x 대신 x - , 3 y 대신 y - 을 대입하면 되므로 y = x 2 2 꼭짓점
2
2
이동시킨다.
2
y - 2 = ] x - 3g 에서 y = ] x - g 2 2 꼭짓점을
3 + 이다.
2
2
,
이때 꼭짓점도 00h 에서 ,32h 로 이동한다.
^
^
O 꼭짓점 3 x
2
,
a x -
n
따라서 y = ] m + 의 꼭짓점은 mnh 이다.
g
^
이와 같이 꼭짓점을 구할려면 2 차함수의 표준형으로 변형해야 한다.
4. 미분을 이용하여 2 차함수의 꼭짓점 쉽게 구하기 (등급 UP 01 참조)
,
이차함수 y = ax + bx + c (,ab c 는 실수 )에서 꼭짓점의 접선의 기울기는 0 이므로
2
x 에 대하여 미분하면 y = 2 ax + = 이다.
l
b
0
b
따라서 꼭짓점의 x 좌표는 x =- 2 a 이며 y 좌표는 y = ax + bx + 에 대입하여 구한다.
2
c
잠시 쉬어 가기
소를 쉽게 이동시키기 위해 발명한 것이 코뚜레이다.
처음에는 소를 이동시키기 위해 목이나, 배, 다리 등에 줄을 맸을 것이다.
그러나 이 방법은 커다란 덩치에 힘도 센 소를 이동시키는데 효과적이지 못했다.
그래서 생각해 낸 것이 소의 코를 뚫어 코뚜레를 이용하여 소를 효과적으로 이동시키는 것이었다.
함수의 그래프의 코뚜레는 대칭점이다.
따라서 2 차함수의 코뚜레는 꼭짓점이고, 원의 방정식의 꼬뚜레는 원의 중심이라 할 수 있다.
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