Page 55 - 수학(상)

예제 02 근 판별하기

다음 이차방정식의 근을 판별하시오.
0
2
2
2
0
2
0
1 ]g x 2 - x 3 - 1 = 2 ]g x - x 4 + 4 = 3 ]g x + x 3 + 8 = 4 ]g x - x 2 + 4 = 0
1 =
1 ]g D = 3 - 4 ## - g 17 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. 개념 다지기
2
2
]
2
c
0
참고 ac < 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다. 이차방정식 ax + bx + = 0 에서
D a 와 c 의 부호가 서로 다르면
2
2 -
2 ]g x + 2 # - x 2 + 4 = 에서 = - g 2 1 # 4 = 이므로 중근을 갖는다.
0
0
g
]
]
4
2
3 ]g D = 3 - 4 ## 8 =- 23 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다. 서로 다른 두 실근을 갖는다.
1
D
1 -
x +
4 ]g x + 2 # - g 4 = 에서 = - g 2 1 # 4 =- 이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
2
0
3
]
]
4
예제 03 이차방정식의 판별식
0
k
2
이차방정식 x3 - x 6 + + 1 = 이 다음과 같이 근을 가질 때, 실수 k 의 값 또는 k 의 값의 범위를 구하시오.
1 ]g 서로 다른 두 실근 2 ]g 중근 3 ]g 서로 다른 두 허근
D
2
2
3
1 =
0
k
이차방정식 x3 + 2 # - x 3 ++ 1 = 에서 4 = 3 - ] k + g 6 - k 3 이므로 개념 다지기
]
g
D
0
2
1 ]g 서로 다른 두 실근을 가지면 4 = 6 - k 3 > 이므로 k < 이다. 1 ]g D > 0 이면 서로 다른 두 실근
D
0
2
2 ]g 중근을 가지면 = 6 - k 3 = 이므로 k = 이다. 2 ]g D = 0 이면 중근
4
3 ]g 서로 다른 두 허근을 가지면 D = 6 - k 3 < 이므로 k > 2 이다. 3 ]g D < 0 이면 서로 다른 두 허근
0
4
예제 04 이차방정식의 근과 계수의 관계
0
이차방정식 x - x 3 + 1 = 의 두 근을 ,ab a ] > bg라고 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.
2
1 b +
]
1 ]g a + g ^ 1h 2 ]g 1 + 1 3 ]g a - b
a b
근과 계수의 관계에 의하여 a + b = , 3 ab = 이므로 개념 다지기
1
b +
3
5
2
c
]
1 b + h
1 ]g a + g ^ 1 = ab + ^ a + h 1 = 1 + + 1 = 이다. 이차방정식 ax + bx + = 0 ] a > 0g 의
1 1 a + b 3
2 ]g + = = = 3 이다. 두 근을 ,ab a > bh 라 하면
^
a b ab 1 D
3 -
1
] - g 2 4 ## 1 a + b =- b a , a # b = a c , a - b = a
3 ]g a - b = 1 = 5 이다.
예제 05 이차방정식의 켤레근의 성질
다음을 구하시오.
0
2
b
b
1 ]g 이차방정식 x + ax + = 의 한 근이 3 - 2 일 때, 유리수 ,ab 에 대하여 a + 의 값
b
2 ]g 이차방정식 x + ax + = 의 한 근이 2 - 3 i 일 때, 실수 ,ab 에 대하여 a + 의 값
2
b
0
1 ]g 이차방정식 x + ax + = 에서 ,ab 가 유리수이고 한 근이 3 - 2 이므로 다른 한 근은 3 + 2 이다.
0
b
2
6
따라서 a 3 - 2 + ^h 3 + 2 = 에서 a =- 이고 b = ^ 3 - 2 3 + 2 = 이므로 a +=-+ 7 = 이다.
b
7
6
6
1
-= ^
h
^ h
h
2 ]g 이차방정식 x + ax + = 에서 ,ab 가 실수이고 한 근이 2 - 3 i 이므로 다른 한 근은 2 + 3 i 이다.
2
0
b
i 2 +
i = 이므로 a +=-+
3
따라서 a 2 - 3 i + ^h 2 + 3 h 4 4 2 - 3 ^h 3 h 7 b 4 7 = 이다.
i = 에서 a =- 이고 b = ^
-= ^
예제 06 두 근을 알 때, 이차방정식 만들기
2
다음 두 수를 근으로 하고 x 의 계수가 1인 이차방정식을 구하시오.
1 ]g ,23 2 ]g ,i3 - i 3 3 ]g 1 + 2 , i 1 - 2 i
이차방정식의 두 근을 ,ab 라 하면 개념 다지기
2
c
0
6
2
1 ]g a + b = 2 + 3 = , 5 ab = 2 # 3 = 이므로 x - 5 x + 6 = 이다. 이차방정식 ax + bx + = 0 의
i 3 = 이므로 x +
i 3 =
0
2 ]g a + b = i 3 + - g , 0 ab = i 3 # - g 9 2 9 = 이다. 두 근을 ,ab 라 하면
]
]
ax + bx + c = " 2 a + bh x + ab,
2
a x - ^
3 ]g a + b = ^ 1 + 2 i + ^h 1 - 2 h , 2 ab = ^ 1 + 2 i # ^h 1 - 2 h 3
i = 이므로
i =
x - 2x + 3 = 이다.
2
0
050 Ⅱ. 방정식과 부등식