Page 54 - 수학(상)

알맹이 콕 !

. 1 이차방정식의 실근과 허근
계수 ,ab c 가 실수인 이차방정식 ax + bx + = 의 근은
0
,
2
c
b b b 2 b 2 b b 2 b 2
a x +
ax +
ax + bx + = b 2 a x += & 2 a x + b 2 a l - b 2 a l 0 + c = & 2 a x + b 2 a l 0 - a # b 2 a l + c
2
c
a x +
c
l
2
2
2
b 2 b - 4 ac b 2 b - 4 ac b 2 b - 4 ac b b - 4 ac
2
a x +
= b 2 a l - 4 a = 0 에서 a x + 2 a l = 4 a , x + 2 a l = 4 a 2 , x + 2 a = ! 4 a 2 단원
b
b
04
2
2
b b - 4 ac - b ! b - 4 ac
따라서 x =- ! = 이다.
2 a 2 a 2 a 이
특히 x 의 계수 b 가 짝수이면, 즉 ax + 2 l c 0 차
2
bx + = 이면
방
b !
l
2
- b 2 l ! ] b 2 l g 2 - 4 ac - b 2 l ! 2 b - ac - l b - ac 정
l
2
x = = = 이다.
2 a 2 a a 식
. 2 이차방정식의 판별식 D 과
]g
2
c
이차방정식 ax + bx + = 에서 a 와 c 의 부호가 서로 다르면 ac < 이므로 D = b - 4 ac > 이다. 이
0
0
0
2
차
따라서 이 이차방정식은 항상 서로 부호가 다른 두 실근을 갖는다.
함
. 3 이차방정식의 근과 계수의 관계 수
c
) 1 이차방정식 ax + bx + = 0 ] a > 0g 의 두 근을 ,ab a > bh 라 하고
2
^
2
2
b
b
-+ b - 4 ac -- b - 4 ac
a = 2 a , b = 2 a 로 놓으면
b
2
-+ b - 4 ac -- b - 4 ac b 2 b
b
2
1 ]g a + b = + =- =- 이다.
2 a 2 a 2 a a
-+ b - 4 ac - b - b - 4 ac ] - g 2 b - 4 ach 2 b - ] b - 4 acg c
2
2
2
2
b
2
b - ^
2 ]g a # b = # = = = 이다.
P 2 a 2 a 4 a 2 4 a 2 a
2
2
2
b
2
-+ b - 4 ac -- b - 4 ac 2 b - 4 ac b - 4 ac D
b
3 ]g a - b = - = = = 이다.
2 a 2 a 2 a a a
2
) 2 이차방정식 ax + bx + = 0 ] c ] 0g의 두 근이 ,ab 이면 두 근이 1 , 1 인 이차방정식은 cx + bx + a = 이다.
0
2
c
a b
1 1 1 a + b 1 b c
2
c x -
'
c x - c a + b m x + ab 1 = c 2 ab x + ab m = 0 에 a + b =- a , ab = a 를 대입하면
b a 1 1 b 1 1 a
0
cx + c x + c l = cx + bx + a = 이다. 따라서 a + b =- c , a # b = c 이다.
2
2
b
예제 01 이차방정식의 근 구하기와 근 판별하기
다음 이차방정식의 근을 구하시오.
2
0
2
2
0
0
2
2
0
1 ]g x - x 3 - 2 = 2 ]g x - x 6 - 4 = 3 ]g x - x 6 + 9 = 4 ]g x - x 2 - 8 = 5 ]g x - x 4 + 6 = 0
- - 3 ! ]g - g 2 4 ## - 2g 3 ! 17 개념 다지기
3 -
1
]
]
1 ]g x = = 이므로
2 # 1 2 1 ]g 근의 공식은 인수분해가
서로 다른 두 실근을 갖는다. 쉽지 않을 때, 이용한다.
2
2
0
2 ]g x - x 6 - 4 = x + 2 # - x 3 g - 4 = 에서 2 ]g 계수가 실수인 이차방정식이
]
- - 3 ! ]g - g 2 1 # - 4g 서로 다른 두 허근을 가질 때,
3 -
]
]
x = = 3 ! 13 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
1 두 근은 서로 켤레복소수이다.
- - 3 ! ]g - g 2 1 # 9
3 -
]
2
0
2
3 ]g x - x 6 + 9 = x + 2 # - x 3 g + 9 = 에서 x = 1 = 3 이므로
]
3 = 이므로 완전제곱식이다.
중근을 갖는다. 이때 x - x 6 + 9 = ] x - g 2 0
2
2 = 에서 x =- 또는 x = 이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
2
4 ]g x - x 2 - 8 = ] x - 4 ]g x + g 0 2 4
- - 2 ! ]g - g 2 1 # 6
2 -
]
2
2
5 ]g x - x 4 + 6 = x + 2 # - x 2 g + 6 = 에서 x = = 2 ! 2 i이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.
0
]
1
049