Page 98 - 수학(상)

y
꼼수풀이 절댓값함수의 그래프로 풀이 (등급 UP 04 참조)

f x g
y = ]
2
2
2
x = x 이므로 f x = x - 5 x + 이라 하면
6
g
]
]
f x g 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
- 2
따라서 구하는 부등식의 해는 3 < x < - 또는 2 < x < 이다. - 3 O 2 3 x
-
2
3
2
1
2 ]g ① x $ 일 때, x - x 2 - 3 # ] x - 1g 이므로 x - x 5 = ] 5 # 0 에서 0 # x # 이다.
3
5
2
x x - g
1
x $ 이므로 1 # x # 이다.
5
x
2
3
② x < 일 때, x - x 2 - 3 #- ] x - 1g 이므로 x +- 6 = ] x + 3 ]g x - g 0 에서 3 # x # 이다.
2
1
2
2 #
-
-
x < 이므로 3 # x < 이다 단원
1
1
06
따라서 ①, ②에서 3 # x # 5 이다.
-
여
예제 11 이차방정식의 두 근을 알 때, 이차부등식 만들기
러
가
1 1
2
0
a
이차부등식 ax + x 6 + b > 의 해가 4 < x < 2 일 때, 실수 ,ab 에 대하여 b - 의 값을 구하시오. 지
부
1 1 개념 다지기
주어진 조건에서 해가 4 < x < 2 이므로 등
2
x 의 계수가 1 인 이차부등식은 x - 1 4 b l x - 1 2 l < 0 에서 이차방정식의 두 근이 식
b
^
1 1 1 1 3 1 , ab a < bh 일 때,
2
2
-
x - b 4 + 2 l x + 4 # 2 = x - 4 x + 8 < 0 이므로 양변에 8 을 곱하면 1 ]g 해가 a < x < b 이고
x
2
8 + x 6 - 1 > 이다. x 의 계수가 1 인
0
-
2
1
8 =
1
따라서 a =- 8 , b =- 이므로 b - a =-- - g 7 이다. 이차부등식은
]
2
x - ^ a + bh x + ab < 0 이다.
꼼수풀이 이차방정식의 근과 계수의 관계 이용

1 1 2 ]g 해가 x < a 또는 x > b 이고
0
b
2
ax + x 6 + = 의 두 근이 4 , 2 이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 x 의 계수가 1 인
2
1 1 6 1 1 b
1
두 근의 합 4 + 2 =- a 에서 a =- , 8 두 근의 곱 4 # 2 = a 에서 b =- 이다. 이차부등식은
2
따라서 b - a =-- - g 7 이다. x - ^ a + bh x + ab > 0 이다.
1
8 =
]
예제 12 모든 실수에 대하여 이차부등식이 항상 성립할 조건
모든 실수 x 에 대하여 부등식 a + 1g x + ] a + 1g x + 4 > 이 항상 성립할 때,
0
2
2
]
실수 a 의 값의 범위를 구하시오.
1
0
1 ]g a =- 일 때, 4 > 이므로 성립한다. 개념 다지기
2
1
2 ]g a !- 일 때, ax + bx + c > 0 이 항상 성립할 때,
이차부등식이라는 조건이 없으면
0
1
① a + 1 > 에서 a > - 이다.
a 가 0 일 때와 0 이 아닐 때로
D
1 =
3
1 < 에서 1 <
2
② = ] a + 1 - ]g 2 4 a + g a - 2 a - 3 = ] a - 3 ]g a + g 0 - a < 이다. 나누어 푼다.
4
1 ]g a = 0 일 때
-
3
①, ②에서 1 < a < 이다.
2 ]g a ! 0 일 때
-
3
따라서 1 ] g , 2 ] g 에서 구하는 a 의 범위는 1 # a < 이다.
a > 0 , D < 0 이다.
예제 13 연립이차부등식
연립부등식 x3 + 4 < x + + 1 # x 3 + 16 을 푸시오.
x
2
1단계 연립부등식을 이루는 각각의 부등식의 해를 구한다.
1
x
x3 + 4 < x + + 에서 x - x 2 - 3 = ] x - 3 ]g x + g 0 1 3
2
2
1 > 이므로 x < - 또는 x > gg ①
x ++ 1 # x 3 + 16 에서 x - x 2 - 15 = ] x - 5 ]g x + g 0 이므로 3 # x # 5 gg ②
2
-
x
2
3 #
① ①
2단계 ①과 ②의 공통부분의 해를 수직선을 이용하여 구한다.
②
오른쪽 수직선의 그림에서 ①과 ②를 동시에 만족시키는 x 의 값의 범위는
1
-
3 # x < - 또는 3< x # 5 이다. - 3 - 1 3 5 x
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