Page 9 - Guia del maestro - Algebra 4° Sec

Capítulo 1

Números reales

CONSTRUCCIÓN AXIOMÁTICA DE LOS NÚMEROS REALES

¿Cuál es la suma de todos
los números comprendidos
entre y 3?
¿Existen dos enteros
3 cuyo cociente sea 2?
VIDEO DE TEORÍA

El sistema de los números reales se puede estructurar fundamentalmente
de dos formas; a partir de los números naturales extender a los enteros, los Ten presente
racionales y a partir de éstos definir los números reales.
La otra forma es construir axiomáticamente los números reales y luego de- Los conjuntos numéricos
mostrar que los racionales, enteros y naturales son subconjuntos de los reales.
 = {0; 1; 2; 3; 4; ...}
Aquí estructuraremos de la última forma.
 = {...; –1; 0; 1; 2; ...}
Se llama Sistema de los números reales a un conjunto no
vacío , que cuenta con dos operaciones binarias (adición  = {1; 2; 3; 4; ...}
+
y multiplicación) y una relación de orden mayor (denota-
do por ">") que satisfacen los siguientes axiomas:  = {...; –3; –2; –1}
–
{ a }
Axiomas de adición y multiplicación  = b / ab ⋅∈  b , ≠ 0

Axiomas de adición de multiplicación Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio (Álgebra)
 = '     = 
Clausura a, b   (a + b)  a, b    (ab)  
Conmutatividad a + b = b + a,  a, b  ab = ba,  a, b  
Asociatividad (a + b) + c = a + (b + c),  a, b, c  (ab)c = a(bc),  a, b, c  

! 0   /a + 0 = 0 + a = a, ! 1   /a1 = 1a = a,  a  
Elemento neutro

 a   (Elemento neutro aditivo) (Elemento neutro multiplicativo)
 a  , !(–a)  /a + (–a) =  a   –{0},  a  /aa =
–1
–1
Elemento recíproco
–1
(–a) + a = 0 (Elmento opuesto) a a = 1 (Elemento inverso)
Axiomas distributivas Ten presente
Distributividad por la izquierda: si a, b, c    a(b + c) = ab + ac
Distributividad por la derecha: si a, b, c    (b + c)a = ba + ca El conjunto de los números
reales incluye el conjunto de
AXIOMAS DE IGUALDAD AXIOMAS DE ORDEN los racionales () y el de los
irracionales ().
Para a, b, c  , se cumple: • Ley de tricotomía:
• Ley de dicotomía: a = b o a  b Para a, b  , uno y solo uno de 
• Reflexiva: a = a los siguientes enunciados es ver- 
• Simetría: si a = b  b = a dadero: a < b , a = b , a > b 
• Ley transitiva:
• Transitividad: 
si a = b  b = c  a = c Si a < b  b < c  a < c 
• Leyes de monotonía:
• Unicidad de la adición:
Si a = b  a + c = b + c,  c  Si a < b  a + c < b + c;  c 
• Unicidad de la multiplicación: Si a < b  c > 0  ac < bc
Si a = b  ac = bc,  c  Si a < b  c < 0  ac > bc

Álgebra 4 - Secundaria 7