Page 10 - Guia del maestro - Algebra 4° Sec

Números reales

Problema 1
Demuestre que si a, b, c   y a + c = b + c  a = b,  c  
Resolución:
(a + c) + (–c) = (b + c) + (–c) U. de la adición
a + c + (–c) = b + c + (–c) Asociatividad
a + 0 = b + 0 E. opuesto
a = b E. neutro l.q.q.d.

ProPiedad de la densidad
Entre 2,17 y 2,18, está (2,17 + 2,18)2 = 2,175.
El conjunto de los números reales es denso
porque entre dos números reales siempre
se puede hallar otro número real; en conse- 2 3 4 5 6
cuencia, entre dos números reales, por más
"cercanos" que estén, hay infinitos números
reales. 3 4 Personaje
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio (Álgebra)
En la figura se observa que un segmento de
recta se puede ampliar indefinidamente y 3,1 3,2
siempre habrán números que correspondan
a estos puntos.

Problema 2
Demuestre que entre dos números reales cualesquiera, al menos hay otro
número real.
Resolución:
Supongamos que entre x y x (x < x ) ya no hay más números reales. Dedekind (1831 - 1916)
2
1
2
1
x + x x + x
Pero x < 1 2 < x , entonces, entre x y x al menos está 1 2 . Define los números reales a partir
1
2 2 1 2 2 de los racionales.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Julius_Wilhelm_
ProPiedad de la comPletitud Richard_Dedekind)
Si a los números reales lo ponemos en correspondencia biunívoca con los
puntos de la recta, tal que a cada punto de la recta le corresponda un número
real y a cada número real, un punto de la recta, los números reales "rellena-
rán" completamente la recta numérica sin dejar "huecos" en ella. Por eso se
dice que el conjunto de los números reales es completo.

Problema 3
¿Es denso el conjunto de los números racionales?

Resolución:
Sí. Entre dos números racionales hay infinitos números racionales.

Problema 4
¿Es completo el conjunto de los números racionales?
Resolución:
No. Los puntos ocupados por los nú- 0 3 
meros irracionales son como "huecos"
dejados por los racionales. –2 –1 1 2 3

8 Álgebra 4 - Secundaria