Page 146 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

valores no dial´ ecticos. Estas consideraciones conducen a la siguiente
definici´ on.

Definici´ on 27 Se llama penetraci´ on estricta ¯ ∗ a una funci´ on de dos
variables en un reticulado dial´ ectico que posee las propiedades:

1. ¯ ∗ posee las propiedades I, A, C, IR;

2. propiedad de penetraci´ on binaria (PB): si x es un elemento del
reticulado, se cumple x ¯ ∗ 0 = 0 ¯ ∗ x = 0 pero no se definen
condiciones sem´ anticas para x ¯ ∗ 1 = 1 ¯ ∗ x;

3. propiedad de penetraci´ on dial´ ectica (PD): si x, y cumplen que si
x ¯ ∗ y es una tesis, entonces se cumple x . y ≤ x ¯ ∗ y ≤ x + y.

Vale la pena observar que la condici´ on 2 es compatible con las pro-
piedades I, C, IR. I y C las cuales son inmediatas por definici´ on. La pro-
piedad asociativa tiene varios casos que se demuestran todos en forma
similar. Consideremos un par de casos representativos: (0 ¯ ∗ 1) ¯ ∗ x =
0 ¯ ∗ ( 1 ¯ ∗ x) = 0, (x ¯ ∗ y) ¯ ∗ 0 se separa en dos casos 1) si z = x ¯ ∗ y es una
tesis z 6= 0 entonces vale z ¯ ∗ 0 = 0, 2) si x ¯ ∗ y = 0 entonces tambi´ en
vale 0.
Si en la Definici´ on 27 se usa como condiciones sem´ anticas adicio-
1
d
0
nales x¯ ∗ 1 = 0, x¯ ∗ 1 = x o x¯ ∗ 1 = 1, donde x es un valor cualquiera
del reticulado y se verifican las propiedades de la Definici´ on 27. 123
Las penetraciones estrictas pueden obtenerse tambi´ en como sumas
en un semi–reticulado tal como se muestra en la Figura 20, donde cD
es una disposici´ on adecuada de los elementos dial´ ecticos del reticulado
tal como muestran las Figuras 22 y 23.

Teorema 46 Las penetraciones estrictas en los reticulados 3Dn cum-
plen con las expresiones del Cuadro 12 excepto para el valor 1.

123
Vale la pena observar que un resultado del tipo x∗1 = R x no cumple la propiedad
i
PD. As´ ı por ejemplo, a = a . 1 a¯ ∗1 = b = R a y similar para R . El caso x¯ ∗1 = 1
no parece tener aplicaciones de inter´ es.
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