Page 142 - 13 Pitagoras

como un número. No dejaron de trabajar con todo tipo de longitu-
des, áreas y razones en geometría, pero solo consideraron válidos
los casos conmensurables. Así se forzó también la distinción entre
número y magnitud, que mantendría al álgebra y la geometría
como disciplinas sin relación mutua durante siglos.
Además, la geometría griega ya tenía considerables limitacio-
nes. Los griegos solo admitían como válidos aquellos conceptos
geométricos que se pudieran construir en la realidad, es decir,
que pudieran existir, y que pudieran dibujarse usando solo una
regla y un compás (por si esto fuera poco, no se admitía el uso de
la regla con marca alguna sobre ella). Por tanto, la geometría se
limitaba a las figuras que se podían obtener a partir de la línea
recta y el círculo. Las únicas superficies admitidas eran las que se
podían obtener haciendo girar líneas rectas y círculos alrededor
de un eje, como por ejemplo el cilindro, el cono y la esfera, for-
mados por la revolución de un rectángulo, un triángulo y un cír-
culo, respectivamente, alrededor de una recta; así como el prisma,
que es un cilindro especial, y la pirámide, que resulta de la des-
composición de un prisma. Las secciones cónicas se introdujeron
al cortar conos mediante un plano.
Todas estas restricciones a figuras claramente definidas die-
ron lugar a una geometría simple, ordenada, armoniosa y bella,
pero demasiado rígida. En su insistencia en la unidad, la comple-
titud y la sencillez, y en separar el pensamiento especulativo de la
utilidad, la geometría clásica griega restringió la visión de sus ma-
temáticos, les cerró la mente a nuevos pensamientos y métodos,
y puso un límite infranqueable a sus logros.
El fracaso a la hora de aceptar los irracionales como números
dejó abierta la cuestión de si se podía asignar un número a razo-
nes inconmensurables, con lo que estas podrían estudiarse desde
la aritmética. Con el número irracional, el álgebra se hubiera am-
pliado también. En lugar de regresar a la geometría para resolver
ecuaciones cuadráticas, o de otro tipo, que podían tener raíces
irracionales, estos problemas se hubieran podido abordar en tér-
minos numéricos, y el álgebra se hubiera desarrollado a partir de
la situación en que la dejaron los egipcios y los babilonios. Incluso
para los números enteros y las razones de números enteros, los

142 EL FRACASO DE LA ARITMÉTICA UNIVERSAL