Page 138 - 13 Pitagoras

par, m es par también, y entonces n es impar. Supóngase que
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m = 2p. Entonces 4p = 2n ; por consiguiente n = 2p , y por lo tanto,
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n es par. En consecuencia, ninguna fracción de mln medirá la hi-
potenusa.
Este argumento demuestra que, sea la que sea la unidad de
longitud que se adopte, hay longitudes que no guardan relación
numérica exacta con la unidad, en el sentido de que no hay dos
enteros m, n tales que m veces la longitud en cuestión sean veces
la unidad. El procedimiento de Euclides se emplea actualmente
para demostrar la irracionalidad de J2, pero hoy se cree que no
aparecía en el texto original, sino que fue un añadido posterior.
Las ediciones modernas suelen omitirlo, dando punto final al
Libro X con la proposición 115.
Como se ha dicho, la aparición de los irracionales subrayó la
independencia de la geometría respecto a la aritmética. En el
Libro II de sus Elementos, Euclides demostró geométricamente
muchas cosas que en la actualidad se demostrarían por álgebra,
por ejemplo, (a+b) =a +2ab+b • La dificultad de los inconmen-
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surables le obligó a emplear este método, y mientras no existió
una teoría aritmética adecuada para los inconmensurables, el mé-
todo de Euclides fue el mejor posible en geometría.

LA RAÍZ DE DOS

El número J2 fue el primer irracional que se descubrió, un suceso
científico de la máxima importancia que marcó durante siglos el
desafío matemático de construir los números reales. A pesar de lo
que parece sugerir la enigmática y trepidante historia de Hipaso y
el derrumbamiento del cosmos pitagórico, encontrar la J2 no es
difícil; lo difícil es saber tratarla. Para hallarla basta con trazar un
cuadrado en un papel, como el que se muestra en la figura l.
El cuadrado principal debe dividirse en cuatro cuadrados de
lado 1, y luego marcar sus cuatro diagonales. De este modo se
obtiene un cuadrado interior de área 2 que ocupa la mitad del
cuadrado de lado 2. El lado de este cuadrado interior multipli-

138 EL FRACASO DE LA A RITMÉTICA UNIVERSAL