Page 137 - 13 Pitagoras

- La diferencia entre las diagonales del pentágono menor y
sus lados respectivos es de nuevo igual a las diagonales del
siguiente pentágono menor, y así de manera indefinida.

El proceso de cambio de camino se puede continuar y, por
ello, no es posible encontrar una medida común máxima para las
diagonales y los lados del pentágono regular: existen segmentos
mutuamente inconmensurables.
Algunos estudios indican que la demostración de que el lado ·
y la diagonal de un cuadrado son inconmensurables podría perte-
necer a una época posterior a los pitagóricos, puesto que resulta
más sofisticada que si se lleva a cabo un procedimiento como el
del cambio de camino. El cuadrado con las diagonales habría ser-
vido tan solo a posteriori como medio de constatar una situación
ya observada en otros ámbitos, como el pentagrama.

INCONMENSURABLE EUCLIDES

En el Libro X de los Elementos Euclides emprendió la tarea de
clasificar los irracionales en tipos. Hay 115 proposiciones en este
libro, aunque las ediciones más antiguas añaden las proposiciones
116 y 117. La última de ellas ofrece una demostración de la irra-
cionalidad a partir de la teoría de pares e impares, empleando el
teorema de Pitágoras, con el mismo desarrollo que, salvo dif eren-
cias de lenguaje, se explica hoy en muchos libros de texto.
Tal y como lo presenta Euclides, por el teorema de Pitágoras,
en un triángulo rectángulo isósceles el cuadrado de la hipotenusa
es el doble del cuadrado de cada cateto. Si cada cateto mide 1,
¿qué longitud tendrá la hipotenusa?
Supóngase que su longitud es mln metros, entonces
m2
-2 =2.
n
Si m y n tienen un factor común, hágase la división, y enton-
2
2
ces m o n deben ser impares. Ahora es m = 2n , por lo tanto m es
2

EL FRACASO DE LA ARITMÉTICA UNIVERSAL 137