Page 134 - 13 Pitagoras

No por ello dejaron de considerar toda suerte de longitudes,
áreas y razones en geometría, pero ciertamente se ciñeron de
modo estricto a considerar razones numéricas solo para los
casos conmensurables. A causa de ello, con el tiempo las magni-
tudes geométricas se distanciaron de las cantidades numéricas,
que comenzaron a trabajarse por separado. La aparición de la
inconmensurabilidad convenció a los matemáticos griegos de
que la geometría debía establecerse de manera independiente
de la aritmética; se rompía así la tradición pitagórica que no
hacía distinciones entre ambas ramas del saber. En los diálogos
de Platón parece probarse que la consideración por separado de
la geometría era corriente en su época.
¿Cómo tardaron tanto en percatarse los penetrantes pitagóri-
cos de la existencia del punto de fractura por el que podía estallar
su sistema? ¿Qué hubieran esperado encontrar en la diagonal del
cuadrado? De acuerdo con el teorema de Pitágoras, en un cua-
drado de lado 1, el cuadrado sobre la diagonal debería tener área
2 y, por tanto, la longitud d de esta diagonal debería ser un número
2
que, al elevarse al cuadrado, diese 2 ( es decir, d = 2). Sin embargo,
en este punto vuelve a aparecer la ./2.
La ./2 era una longitud de un segmento que se podía esbozar
con facilidad a partir de un cuadrado con la ayuda de una regla y
un compás. Así que, ¿no era razonable pensar que si se fijaba una
unidad cualquiera «u» (menor que 1), se pudiese medir a la vez el
lado (1) y la diagonal ( ./2) del cuadrado? ¿No era razonable creer
que el lado y la diagonal de un cuadrado tenían que ser necesaria-
mente conmensurables? Pues bien, aunque pensar de ese modo
era lo más lógico, el hecho invariable es que el lado y la diagonal
de un cuadrado no son conmensurables.
Este planteamiento del problema condujo a la necesidad de
que, repitiendo la unidad común u con un número entero n de re-
peticiones, se midiese el lado 1 = nu, y con otro número entero m
de repeticiones, se hallase ./2 = mu. Es decir, lo que dividiendo de-
bería ser:

./2 = ./2 = mu = m.
l nu n

134 EL FRACASO DE LA ARITMÉTICA UNIVERSAL