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común divisor, de dos números. El
método consiste en lo siguiente:
dadas dos magnitudes diferentes
( a,b) con a< b se resta la menor a la
mayor; de entre la nueva magnitud
obtenida b-a y a, se vuelve a restar
la menor a la mayor, y así, sucesi-
vamente. Este procedimiento no es
aplicable a la pareja de magnitudes
(a,b) si las magnitudes son incon-
mensurables.Cuando a y b son nú-
meros naturales, puede definirse el
e máximo común divisor de ambos,
denominado comúnmente como
mcd (a,b), y el procedimiento, lla-
Demostración de mado algoritmo de Euclides, es siempre finito y proporciona in-
la existencia
de segmentos faliblemente un resultado. Si el proceso no es finito, es que no hay
Inconmensurables máximo común divisor posible, y a y b no son conmensurables.
en el pentagrama.
El teorema --que no reproduciremos- lo demostró Euclides en
el Libro X de los Elementos: «Cuando, dadas dos magnitudes dis-
tintas, al quitar alternativamente la más pequeña a la mayor, el
resto nunca coincide con la magnitud precedente, entonces di-
chas magnitudes han de ser inconmensurables».
Como se ve en la figura, las diagonales de un pentágono regu-
lar forman de nuevo un pentágono regular, y así sucesivamente.
Para la cadena de pentágonos obtenidos en este proceso se tienen
las relaciones AE=AB' y B'D=B'E', de donde AD-AE=B'E' y, de
manera análogaAE=ED'=EA' y B'E'=B'D=B'E; por consiguiente,
AE-B'E'=B'A ', y así sucesivamente, sin llegar a finalizar nunca. Ex-
presado en términos verbales, de ello se deducen tres conclusiones:

- La diferencia entre las diagonales y los lados del pentágono
mayor es igual a las diagonales del pentágono menor.

- La diferencia entre los lados del pentágono mayor y las
diagonales del pentágono menor es igual a los lados del
pentágono menor.

136 EL FRACASO DE LA ARITMÉTICA UNIVERSAL