Page 20 - Matematika_XI_Siswa

a) Langkah awal:
Untuk n = 1, maka P(1) = 1 = 1 = 1.
2
Jadi P(1) benar.
b) Langkah Induksi:
Karena P(1) benar, maka P(2) juga benar, hingga dapat diperoleh untuk
n = k,
P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k juga benar, untuk setiap k bilangan
2
asli.
Akan ditunjukkan untuk bahwa untuk n = k + 1, sedemikian sehingga
P(k + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2(k + 1) – 1) = (k + 1) adalah suatu
2
pernyataan yang benar.
Karena P(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k adalah pernyataan yang
2
benar, maka
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) = k 2
Jika kedua ruas ditambahkan dengan (2k + 1), akibatnya
1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2k – 1) + (2k + 1) = k + 2k + 1
2
= (k + 1) .
2
Jadi, dengan P(k) ditemukan P(k + 1).
Dengan demikian terbukti bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n adalah
2
benar, untuk setiap n bilangan asli.
Karena formula P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n , memenuhi kedua
2
prinsip induksi matematika, maka jumlah n bilangan ganjil positif yang
pertama sama dengan n adalah benar, dengan n bilangan asli.
2
Contoh 1.2

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa:
1 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 = 2 n + 1 – 1
n
3
2
4
untuk setiap n bilangan bulat positif.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan P(n) = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 = 2 n + 1 – 1.
3
4
2
n
Kali ini, sudah cukup jelas makna pernyataan yang akan dibuktikan dengan
menggunakan induksi matematika. Oleh karena itu, akan ditunjukkan bahwa
pernyataan P(n) memenuhi langkah awal dan langkah induksi.

10 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK