Page 22 - Matematika_XI_Siswa

a) Langkah Awal:
Untuk n = 2, kita peroleh
1 + 1 = 2
( )
12 2 3 )
( ) (2 1+
2
↔ 2 = .
3 3
Dengan demikian, diperoleh bahwa P(2) adalah benar.

b) Langkah Induksi:
Karena P(2) benar, maka P(3) benar, hingga disimpulkan
1 1 1 1 1 k
P(k) = + + + + ... + = adalah benar.
( )
( )
( )
1 ( ) 2 23 34 45 ( k k + 1 ) (k + ) 1
Akan ditunjukkan, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar.
1 1 1 1 1 k
Diperoleh + + + + ... + = .
( )
( )
( )
1 ( ) 2 23 34 45 ( k k + 1 ) (k + ) 1
1 1
Jika kedua ruas ditambahkan = , diperoleh
(k + 1 ⋅ ) (k +   ) 1 + 1  (k + 1 ⋅ ) (k + ) 2
1 1 1 1 1 1 k 1
( )
( )
( )
1 ( ) 2 + 23 + 34 + 45 + ... + ( k k + 1 ) (k + + 1 )(k + ) 2 = (k + 1 ) (k + + 1 )(k + ) 2
k + 1
=
k + 2
Jadi diperoleh bahwa 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1
( )
( )
( )
1 ( ) 2 23 34 45 ( k k + 1 ) (k + 1 )(k + ) 2
k + 1
= adalah benar, untuk setiap k bilangan asli.
k + 2
1
1
1
1
Karena formula P(n) = 1 ( ) 2 + 23 + 34 + 45 + ...+ ( nn + 1 1 ) (n + = n ) 1 memenuhi
( )
( )
( )
kedua prinsip induksi matematika, maka formula tersebut adalah formula
yang benar.

12 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK