Page 21 - Matematika_XI_Siswa

a) Langkah Awal:
Untuk n = 0, diperoleh, 1 = 2 0 + 1 – 1.
Jadi P(0) benar.
b) Langkah Induksi:
Pada langkah awal diperoleh P(0) benar, akibatnya P(1) benar, 1 + 2
= 2 1 + 1 – 1.
Oleh karena itu disimpulkan bahwa, untuk n = k,
P(k) = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 = 2 k + 1 – 1.
3
4
k
2
Selanjutnya akan ditunjukkan, jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar.
Dari P(k) kita peroleh,
1 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 = 2 k + 1 – 1.
4
k
3
2
Kemudian kedua ruas ditambahkan 2 k + 1 , akibatnya
1 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 + 2 k + 1 = 2 k + 1 – 1 + 2 k+1
2
3
k
4
= 2.2 k + 1 – 1
= 2 (k + 1) + 1 – 1
Diperoleh bahwa P(k + 1) = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 k + 1 = 2 (k + 1) + 1 – 1
2
3
4
adalah benar, untuk setiap k bilangan bulat positif.
Karena P(n) = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2 = 2 n + 1 – 1 memenuhi kedua
4
n
3
2
prinsip induksi matematika, maka formula P(n) = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + . . . + 2
2
3
n
4
= 2 n + 1 – 1 adalah benar, dengan n bilangan bulat psotif.
Contoh 1.3
Untuk setiap bilangan asli, dengan n ≥ 1 berlaku:
1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n
( )
( )
( )
1 ( ) 2 23 34 45 ( nn + 1 ) (n + ) 1 .
Buktikan dengan induksi matematika
Alternatif Penyelesaian:
1 1 1 1 1 n
Kita misalkan, P(n) = 1 ( ) 2 + 23 + 34 + 45 + ... + ( nn + 1 ) (n + = ) 1 .
( )
( )
( )
Akan ditunjukkan bahwa P(n) memenuhi prinsip induksi matematika, yaitu
langkah awal dan langkah induksi.

MATEMATIKA 11