Page 23 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

n
dan koefisien dari t dapat diekspansikan menjadi
.(
3
.(
. 5 . 3 . 1  2n  ) 1 2 ( ) x n  . 5 . 3 . 1  2n  )(n  ) 1 2 ( ) x n 2
.(
. 6 . 4 . 2  2 . n . 6 . 4 . 2  2n  ) 2

. 5 . 3 . 1  2n  )(n  )(n  ) 3
2
5
.(
 2 ( ) x n 4  
.(
. 6 . 4 . 2  2n  ) 4 ! 2
atau dapat ditulis
2
2 ( n )! 2 ( n  )!
x n  x n 2   
2 n (n ) ! 2 2 n ( ! 1 n  )! (n  )!
2
1
sehingga dapat dinyatakan
1 
n
  P n (x )t (11)
1  2xt  t 2 n 0
1
dan fungsi dinamakan fungsi pembangkit polinom Legendre.
1 2xt  t 2

2n  1 n
Contoh. Buktikan P (x )  xP (x )  P (x ).
n
1
n  1 n n  1 n 1
Penyelesaian.

Dari persamaan (11) kedua ruas didiferensialkan terhadap t, kita memperoleh

x  t 
  nP n (x )t n 1
1 (  2xt  t 2 ) 2 / 3 0

kemudian mengalikan kedua ruas dengan 1 (  2xt  t 2 ) kita memperoleh

x  t 
  1 (  2xt  t 2 )nP n (x )t n 1
1  2xt  t 2 n 0

 
t
 (x  )P n (x )t n   1 (  2xt  t 2 )nP n (x )t n 1
n 0 n 0

    
 xP n (x )t n   P n (x )t n 1   nP n (x )t n 1   2nxP n (x )t n   nP n (x )t n 1
n 0 n 0 n 0 n 0 n 0
n
persamaan koefisien dari t masing-masing ruas adalah;

xP n (x ) P n 1 (x )  (n  ) 1 P n 1 (x )  2nxP n (x )  (n  ) 1 P n 1 (x )
atau
2n  1 n
P n 1 (x )  n  1 xP n (x )  n  1 P n 1 (x ). (terbukti)