Page 21 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

Persamaan (3) mengucapkan setiap koefisien dalam koefisien kedua yang mendahuluinya, kecuali a
0
dan a yang dibiarkan tetap sebagai sebarang konstanta. Maka diperoleh
1

k 2 k 6 (  k )k
a   a 0 , a  a 1 , a  a dan seterusnya, sehingga diperoleh solusi
2
4
0
3
! 2 ! 3 ! 4
umum persamaan (1) adalah

6 k

4
2
6
y (x )  a 0  1 k x  6 (  k )k x  ( 20 k )(  )k x  

 ! 2 ! 4 ! 6 
 2 k ( 12 k )( 2  ) k 


5
3
 a 1  x  x  x   (4)
 ! 3 ! 5 
 a 0 y 1 (x  1 y 2 (x )
) a

Kedua deret terakhir ini konvergen untuk 1 x  . 1 Karena y 1 (x ) mengandung hanya x berpangkat
genap, sedangkan y 2 (x ) mengandung hanya x berpangkat ganjil, dan rasio y 1 (x / ) y 2 (x ) tidak
konstan, maka y 1 (x ) dan y 2 (x ) tidak sebanding, hal ini berarti bahwa keduanya adalah solusi yang
bebas linier.
Persamaan Legendre sering berupa bilangan bulat tidak negatif. Dalam hal demikian, ruas kanan
persamaan (3) bernilai nol jika s  , n sehingga a n  2  , 0 a n  4  , 0 a n  6  , 0 . Akibatnya, jika n
genap maka y (x ) tereduksi menjadi sebuah polinom berderajat n. Jika n ganjil maka y (x ) tereduksi
1 2
menjadi sebuah polinom berderajat n.
Persamaan (3) dapat juga ditulis dalam bentuk

)( 
(  2 s ) 1
s
s
a s   a s  2 , (  n  ) 2 (5)
(  s )(  s  ) 1
n
n
dan koefisien yang tidak nol dinyatakan dalam koefisien a dari x yang berpangkat tinggi. Koefisien a n
n
0
n
mula-mula masih sebarang. Biasanya diambil a n  1 untuk  dan
2 ( n )! . 5 . 3 . 1  .( 2n  ) 1
a   n  . 2 . 1  (6)
n
2 n (n ) ! 2 ! n
Untuk  ns  , 2 n  , 4  dari persamaan (5)
n (  ) 1 n (  1 )( 2n )! n (  2 ) 1 n 2 ( n  1 )( 2  2 )!
n
n
n
n
a   a    

n
2
n
n
n
2 ( 2 n  ) 1 n 2 ( 2 n  2 ) 1 n (n ) ! 2 2 ( 2 n  2 ) 1 n n (  1 )!n (  1 )(  2 )!
2 ( n  2 )!
= 
n
n
2 n (  1 )! (  2 )!
(  2 )(  ) 3 2 ( n  4 )!
n
n
a   a 

4
n
2 ( 4 n  ) 3 n  2 2 n ( ! 2 n  2 )! (  4 )!
n