Page 20 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

4. Persamaan Legendre.
Bentuk persamaan Legendre adalah

2  n
n
1 (  x 2 )   y  x y  (  ) 1 y  0 (1)
dengan n . R Sebarang solusi bagi persamaan (1) dinamakan fungsi Legendre. Dengan
mensubstitusikan


m
y   a m x (2)
m 0
dan turunannya ke persamaan (1) dan melambangkan n( n  ) 1  k diperoleh

  
1 (  x 2 )  m (m  ) 1 a m x m 2  2x  ma m x m 1  k  a m x m  0
m 2 m 1 m 0
atau




 m (m  ) 1 a m x m 2   m (m  ) 1 a m x m  2  ma m x m  k  a m x m  0
m 2 m 2 m 1 m 0
Dapat diuraikan menjadi

)( 
( 
. 1 . 2 a 2  . 2 . 3 a 3 x  . 3 . 4 a 4 x 2   s 2 s ) 1 a s  2 x s 
 . 1 . 2 a 2 x 2   s (  ) 1 x s 
s
 . 1 . 2 a 1 x  . 2 . 2 a 2 x 2  s . . 2 a s x s 
x
k .a 0  k .a 1 .  k .a 2 .x 2   k .a s .x s   0

Persamaan di atas hanya dipenuhi jika jumlah koefisien setiap pangkat x haruslah nol, sehingga;
0
2a 2  k .a 0  0 koefisien x

1
6a 3  ( 2  k ).a 1  0 koefisien x
Secara umum untuk  , 3 , 2 
s
( 
)( 
2  k
s
s
(  2 s ) 1 a s  2   s ) 1  s a 2  0
atau

)
s( s 1  k
s
a s 2  a (  , 1 , 0 , 2  ) (3)

s


( s 2 )( s 1 )