Page 22 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

dan seterusnya, secara umum bila  2m  , 0 kita memperoleh
n
2 ( n  2m )!
a  ( ) 1 m (7)
2m
n
n
2 m ( ! n  m )! (n  2m )!
Solusi yang dihasilkan bagi persamaan diferensial Legendre dinamakan polinom Legendre berderajat n
dan dilambangkan P n (x ), dari persamaan (7) kita memperoleh

M
 m)!
 m
P ( x)   (  ) 1 m n 2 ( n 2 x n 2
n
 m)!
m 0 2 m! n (  m ( )! n 2
2
2 ( n )! 2 ( n  )!
= x n  x n 2    (8)
2 n (n ) ! 2 2 n ( ! 1 n  )! (n  )!
2
1
dengan M  2 / n atau (  2 / ) 1 bergantung pada yang mana yang bulat. Dengan demikian kita
n
memperoleh
1
P 0 (x )  , 1 P 1 (x )  , x P 2 (x )  3 ( x 2  ) 1
3
1 1 1
4
3
3
5
2
P 3 (x )  5 ( x  3x ), P 4 (x )  ( 35x  30x  3 ), P 4 (x )  ( 63x  70x  15x )
2 8 8
dan seterusnya.
Dengan menerapkan teorema Binomial pada (x  ) 1 n , mendiferensialkan sebanyak n kali suku demi
2
suku dan membandingkan dengan persamaan (8) kita memperoleh
1 d n x ( 2  ) 1 n
P ( x)  (9)
n
2 n n! dx n
dikenal dengan formula Rodriques.

Teorema binomial adalah;

 n  n  n  n

2
n
( a  b) n     a    a  n1 b   a  n2 b     b  n




 0   1   2   n 
maka
1
p ( p  ) 1 p ( p  )( p  ) 2
1 (  ) v p  1  pv  v 2  v 3   (10)
! 2 ! 3
1 2 / 1 
sehingga fungsi   1 t 2 ( x   ) t , dengan v  t  2 ( x  ) t dan p   2 / 1 dapat kita
1 2  t 2
xt
ekspansikan mengikuti persamaan (10) menjadi
1 1 1 3 2 2 1 3 5 3 3
t
1  t 2 ( x  )  . t 2 ( x  )  . . t 2 ( x  )  
t
t
1  2xt  t 2 2 2 4 2 4 6