Page 15 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

 2
 ln x n  0

9. Y (x )  
n n
1
  2 (n  )! 1 n  2 , 1 , 
  x n

2

10. Untuk x   , Y n (x )  x  sin( x  n ) , n  , 1 , 0 , 2 
dengan   2 ( n  ) 1  . 4 /
n

3.1 Fungsi Bessel Dimodifikasi

Bentuk persamaan diferensial

y
x 2    y   y x (x 2  v 2 )  0 (26)
untuk v bilangan bulat n maka persamaan (26) dapat ditulis sebagai

y
x 2    y   y x (x 2  n 2 )  0 (27)
Misalkan t  ix atau x   it , dimana   1 maka persamaan (27) menjadi
i

Y
t 2    Y   Y t (t 2  n 2 )  0 (28)
dengan (x  ( y  ) it  Y (t ). Sehingga solusi umum persamaan (28) adalah (t  AJ n (t  n (t )
Y
)
) BY
)
y
atau
) BY
y (x )  AJ n (ix  n (ix ) (29)
merupakan solusi umum persamaan (27). Dari persamaan (15) dapat ditulis






J n (ix )   (  ) 1 k  ix  2k n  i n  1  x  2k n (30)
n
n
k 0 k ( ! k  )!  2  k 0 k ( ! k  )!  2 
n
kita dapat memasukkan i ke dalam A (karena konstanta) dan tinggallah nilai riil yaitu
 1  x  2k n
I n (x )  i n J n (ix )     (31)
n
k 0 k ( ! k  )!  2 
yang dikenal sebagai fungsi Bessel dimodifikasi jenis pertama orde n. Sedangkan Y n (ix ) adalah fungsi
Bessel dimodifikasi jenis kedua orde n, yaitu


K (x )  i n 1 J (ix ) iY (ix  ) (32)
n
2 n n
Dengan demikian diperoleh