Page 12 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

 x 2 x 4   x 3 x 5 

y  a 0  1       a 1  x    
 ! 2 ! 4   ! 3 ! 5 
atau y  a 0 cos x  a 1 sin . x

Contoh soal. Terapkan metoda deret kuasa untuk menyelesaikan persamaan diferensial berikut.
x
1. y   y  0 jawaban y  a 0 e

3
2. x   y 3  6 jawaban y   2 a 0 x
y
a

2
4

2
3. 1 (  x ) y  xy jawaban y  a 0  1 x  x   0 .

1 x 2
3. Fungsi Bessel
Persamaan diferensial
y
x 2    y   y x (x 2  v 2 )  0 (6)
dengan v adalah bilangan nyata yang diketahui. Persamaan (6) dikenal dengan persamaan Bessel
berorde v dengan solusi berbentuk

y (x )   a k x k r a 0  0 (7)
k 0
Dengan mensubstitusikan persamaan (7) dan turunanya ke persamaa (6) menghasilkan

 (  ) k  x  2k v
1
1
y (x )  a 0 2 v (v  )    (8)
1
k 0 ! k (v  k  )  2 
( 
v
dengan menghilangkan factor skala a 0 2  v ) 1 kita memperoleh solusi fungsi Bessel jenis pertama
orde-v:




J v (x )   x  v  (  ) 1 k  x   2k (9)
 2  k 0 ! k (v  k  ) 1  2 
Dengan mengganti v menjadi –v kita memperoleh solusi fungsi Bessel jenis pertama orde-v , yaitu


1




J v (x )   x  v  (  ) k  x  2k (10)
1
 2  k 0 ! k ( v  k  )  2 
Kedua deret persamaan (9) dan (10) konvergen untuk semua x. Persamaan (9) dan (10) dapat ditulis
 1 1 

J v (x )  x v   x 2  (11)
)
1
2
 (v  2 v (v  ) 2 v 2 
 1 1 

J v (x )  x v   x 2  (12)
1
)
2
 ( v  2 v ( v  ) 2 v 2 