Page 11 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

 x m x 2 x 3
2. e x   1  x   
m 0 ! m ! 2 ! 3
 x 2m x 2 x 4 x 6
3. cos x   (  ) 1 m 1    
m 0 2 ( m )! ! 2 ! 4 ! 6
 x 2m 1 x 3 x 5 x 7
4. sin x   (  ) 1 m  x    
1
m 0 2 ( m  )! ! 3 ! 5 ! 7

Andaikan   a m x m  a 0  a 1 x  x 2  a 3 x 3   (3)
a
y
2
m 0
merupakan solusi umum untuk suatu persamaan diferensial, dan kita sisipkan deret ini dan deret yang
diperoleh melalui pendiferensialan suku demi suku,

a
a
 y   ma m x m 1  a 1 2 x  3 x 2   (4)
3
2
m 1

. x
  y   m (m  ) 1 a m x m 2 2a 2  2 . 3 a 3  3 . 4 x 4 x 2   (5)
m 2
dan seterusnya, ke dalam persamaan semula. Selanjutnya kita kumpulkan x yang berpangkat sama dan
kita samakan jumlah koefisien masing-masing x itu dengan nol, mulai dengan suku konstanta, suku yang
2
mengandung x, suku yang mengandung x , dan seterusnya. Sehingga kita dapat menentukan koefisien
yang belum diketahui di dalam persamaan (3) secara berturut-turut.

Contoh 1. Selesaikan persamaan diferensial

   y y  . 0

Penyelesaian. Dengan mensubstutusikan persamaan persamaan (3) dan (5) kedalam persamaan
diferensial (soal), kita memperoleh

2 ( a 2  . 2 . 3 a 3 x  3 . 4 x 4 x 2  )  (a 0  a 1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  )  . 0

Setelah suku-suku x yang berpangkat sama dikumpulkan, maka

x
2 ( a 2  a 0 )  . 2 . 3 ( a 3  a 1 )  3 . 4 ( x 4  a 2 )x 2   , 0
dengan menyamakan koefisien-koefisien dengan nol, kita memperoleh

a a a a
a   0 , a   1 , a   2  0 , ,
2
4
3
! 2 ! 3 3 . 4 ! 4
dengan a dan a adalah bilangan sebarang. Maka solusi umum persamaan diferensial di atas adalah
0
1
a a a a
y  a  a x  0 x 2  1 x 3  0 x 4  1 x 5  
0
1
! 2 ! 3 ! 4 ! 5
dapat ditulis dalam bentuk