Page 13 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

Solusi umum persamaan Bessel adalah

) BJ
y (x )  AJ v (x   v (x ) (13)
dengan A dan B adalah konstanta.

Dari persamaan (11) dan (12) kita memperoleh

2 2
J 2 / 1 ( x)  sin x dan J 2 / 1  ( x)  cos x (14)
x  x 

Jika v adalah bilangan bulat n, maka

 (  ) k  x  2k n
1
J n (x )     (15)
n
k 0 k ( ! k  )!  2 
dengan (v  k  ) 1   (n  k  ) 1  (n  k )!. Sehingga

x 2 x 4 x 6
J 0 (x ) 1     
2 2 2 4 ) ! 2 ( 2 2 6 ) ! 3 ( 2

x x 3 x 5 x 7
J 1 (x )      
2 2 3 ! 2 2 5 ! 3 ! 2 2 7 ! 4 ! 3

dan

 (  ) 1 k  x  2k n
J n (x )     (16)
n
k 0 k ( ! k  )!  2 
Dari persamaan (15) dan (16) kita memperoleh
n
J  n (x )  ( ) 1 J n (x ) (17)

Persamaan (15) dan (16) tidak bebas linier sehingga keduanya tidak menyusun suatu basis
solusi. Untuk memperoleh solusi yang bebas linier jika v bilangan bulat adalah sebagai berikut:
1. Untuk  , 0 persamaan Besselnya berbentuk
n
  y x   y  xy  0 (18)

dengan bentuk solusi:

k
y 2 (x )  J 0 (x ) ln( ) x   C k x (19)
k 1
dengan mensubstitusikan y dan turunannya ke persamaan (18) kita memperoleh
2





y 2 (x )  J 0 (x ) ln( ) x   x  2    1 1  1  x   4   (20)
 2   2  !2( ) 2  2 