Page 14 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

yang mana y (x ) dinotasikan Y (x ), disebut fungsi Neumann orde nol.
2 0
2. Untuk  , 3 , 2 , 1  solusinya berbentuk
n
1
2  x   1  n 1 (n  k  )!  x  2k n
Y (x )   ln   J (x )     
n
  2  n  2  0 ! k  2 
k
2k n (21)
k
1  (  ) 1  )   ) n  x  
 (k
 (k
    
2 k 0 k ( ! k  )!  2  
n

1 1 1
dimana (  ) 0  , 0 dan  (k )  1    , untuk  , 1   . 0 5772157 (konstanta
k
2 3 k
Euler). Persamaan (21) dikenal dengan fungsi Bessel jenis kedua orde n. Sedangkan
n
Y  n (x )  ( ) 1 Y n (x ) (22)
Solusi umum persamaan Bessel jika  n  , 2 , 1 , 0  adalah
v
) BY
y (x )  AJ n (x  n (x ) (23)
Untuk semua v didefinisikan
(cos v ) x)  J ( x)
 J (
Y ( x)  v  v (24)
n
sin  v
Untuk  n (  , 2 , 1 , 0  )persamaan (24) menghasilkan persamaan (21). Untuk semua v
n
v
maka solusi persamaan Bessel adalah

y (x )  AJ v (x ) BY n (x ) (25)
dengan A dan B adalah konstanta.
RUMUS-RUMUS. Hasil- hasil di bawah ini berlaku untuk semua n.

2n
1. J (x )  J (x )  J (x )
1
n
x n n 1
2. J  (x )  1 J (x )  J (x  )
n
2 n 1 n 1
3. x  n (x )  nJ n (x  n 1 (x )
J
) xJ
4. x  n (x )  nJ n 1 (x  n (x )
J
) nJ
d
5.  Jx n n (x  )  x n J n 1 (x )
dx
d
6. x  n J (x  )   x  n J (x )
dx n n 1
1
7. J (x )  x n , n  , 1 , 0 , 2 
n
2 n ! n
2
8. Untuk x  , 0 J (x )  cos(x  ) , n  , 1 , 0 , 2 

n
x  n