Page 10 - Bab 6- Solusi Deret Bagi Persamaan Diferensial

 1 1 1 1 1
Untuk   , 1 deret berbentuk       , merupakan deret konvergen.
x
1 2 2 2 3 2 4 2 5 2

Sehingga deret di atas konvergen pada interval 1 x  . 1

2. Metoda Deret Kuasa
Persamaan diferensial linier homogen berordo n yang koefisiennya konstanta dapat diselesaikan
melalui metode aljabar dan solusinya berupa fungsi elementer. Akan tetapi jika koefisien-koefisiennya
bukan konstanta namun bergantung pada x seperti persamaan Bessel, Legendre, dan persamaan
Hipergeometrik maka solusinya berupa bentuk deret kuasa atau deret pangkat.

Bentuk umum deret kuasa adalah

 m 2 
 (x
a m (x  x 0 )  a 0  a 1 (x  x 0 ) a 2  x 0 )  (1)
m 0
dengan a 0 ,a 1 ,a 2 ,  adalah konstanta yang disebut koefisien deret, x juga berupa konstanta yang
0
disebut pusat, sedangkan x adalah peubah. Jika x 0  0 maka diperoleh sebuah deret kuasa dalam x

yaitu

 m 2 3 
a
a m x  a 0  a 1 x  x  a 3 x  (2)
2
m 0
Di dalam bagian ini diasumsikan semua peubah dan konstanta adalah bilangan riil.

Catatan.
Deret Taylor.

(   f ) a
2
x
f (x )  f (a )  f (  a )(  a )  (  a ) 
x
! 2
n
f (n ) (a ) f (  ) 1 (c )
n
 (  a )  n  1 (  ) a n  1
x
x
n
! n (  1 )!
Deret Maclaurin
) 0 (   f
2
f (x )  ) 0 ( f  0 (  f )(x )  (x ) 
! 2
n
f (n ) ) 0 ( f (  ) 1 (c )
 (x )  n  1 (x ) n  1
n
n
! n (  1 )!
Contoh Deret Maclaurin.
1 
1.   x m  1  x  x 2 
1  x m 0