Page 239 - analysinew

239
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

2. ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ)
Δίνεται η συνάρτηση f: , για την οποία ισχύει
3f(x)+f(-x)=x +x, x
2
Να βρείτε το όριο
3 2

lim f(x)+x+ 4 x
x + 2f(x)-1+ 7 x 2
2

Στη δοσμένη σχέση
θέτουμε όπου χ το -χ
και προκύπτει
2
3f(-x)+f(x)=x -x

Λύνουμε το σύστημα

f(- x)+3f(x)= x 2 +x × (- 3 )
~
3f(- x)+f(x)= x -x
2

- 3f(- x)-9f(x)=- 3x -3x
2
~
3f(- x)+f(x)= x -x
2

- 8f(x)=- 2x -4x~
2
1 1
2
f(x)= x - x
4 2
Έτσι
3 1 1 3
f(x)+x+ x 2 x - x+x+ x 2
2
lim 4 = lim 4 2 4
x + 7 x + 1 7
2
2f(x)-1+ x 2 x -x-1+ x 2
2 2 2
1
x 2 + x
= lim 2
x + 4x -x-1
2
1
x 2 1+
= lim 2x
x + 1 1
x 2 4- -
x x 2

1+ 1
= lim 2x = 1+0 = 1
x + 1 1 4-0-0 4
4- -
x x 2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017