Page 22 - MODUL Kalkulus Lanjut

Vektor gradien dari f
f  f  f 
 f (x , , y ) z = i + j + k
x  y  z 

 (x + y )z  (x + y )z  (x + y )z
= i + j + k
x  y  z 
= zi + zj + (x + y )k
= z , z ( , x + ) y

untuk f (r (t )) = sin , t sin , t (sin t + cos ) t , dengan menggunakan aturan rantai sehingga:


t) 
f ( = f ( r( t)). r (  t)
= sin t sin t (sin t + cos t . ) cos t,− sin t cos t
,
,
,
= sin t cos t + sin t. − sin t + (sin t + cos t cos t
).
.

= sin t cos t − sin 2 t + sin t cos t + cos 2 t
= 2 sin t cos t + cos 2 t − sin 2 t
= sin t 2 + cos t 2
Sehingga turunan f(t) dengan menggunakan vektor gradien diperoleh f ( = 2 sin t + cos t 2 .

t)

3.2.3 Turunan Berarah

Turunan parsial f x , (x ) y dan f y , (x ) y menyatakan laju perubahan dari f bila dapat

merubah x (dengan menahan y tetap) dan merubah y (dengan menahan x tetap). Pada bagian
ini akan dipelajari bagaimana perubahan f bila dibolehkan x dan y berubah bersamaan. Ada

banyak cara untuk membolehkan x dan y berubah bersamaan. Misalnya x berubah lebih cepat
dari y. Misalnya pada suatu titik ( x 0 , y ). Merubah x dengan laju positif dua kali lebih cepat
0

dari laju perubahan positif y.
Dalam turunan parsial dapat didefinisikan bahwa laju perubahan f yang dinyatakan

dengan f x , (x ) y adalah dalam arah vektor , 1 0 , sedangkan laju perubahan f yang dinyatakan

dengan f y , (x ) y adalah dalam arah vektor 0 1 , . Misalkan ingin diketahui laju perubahan f

dalam arah = 1 , 2 . Ada banyak vektor yang menyatakan arah ,2 1 , bila vektor
v
1 1 2 1
v = , v = 3 , 6 v = ,
5 10 5 5

18