Page 12 - Chapter 2

 P adalah partisi dari A

dan R adalah relasi A1

ekivalen yang di tentukan A2

oleh P

Jika a di Ai, i = 1,2… 6 A3

lalu Ai = R (a) A6 A4

Lemma 1 *:
A5
a R b iff R (a) = R (b)

Lemma 1 (Catatan: Lemma adalah teorema yang tujuan utamanya
adalah untuk membantu membuktika n beberapa teorema lain)

Misalkan R merupakan relasi ekivalen pada himpunan A, dan

misalkan a ∈ A, b ∈ A. Kemudian

a R b jika dan hanya jika R (a) = R (b)

Bukti:

Pertama, anggaplah R (a) = R (b).
Karena R refleksif, b ∈ R (b);

oleh karena itu, b dalam R (a), jadi a R b

Sebaliknya, misalkan a R b, maka

(1) b di R (a) menurut definisi. Oleh karena itu, karena R simetris
(2) a di R (b) dengan teorema 2 (b) dari Bagian 4.4.

Untuk membuktikan R (a) = R (b)

Pertama, kita memilih x di R (b), karena R transitif, fakta x di R (b)

dengan b di R (a) (1), tersirat oleh Teorema 2 (c) dari Bagian 4.4

bahwa x di R ( Sebuah). Jadi, R (b) ⊆ R (a)

Kedua, dukung y di R (a). Fakta ini dan a di R (b) (2) menyiratkan.

Seperti sebelumnya, bahwa y di R (b). Jadi R (a) ⊆ R (b)

Oleh karena itu, kami memiliki R (a) = R (b)

Lemma terbukti.