Page 13 - Chapter 2

Teorema 2

Misalkan R adalah relasi ekivalen pada A, dan misalkan P
adalah kumpulan dari semua himpunan relatif berbeda R (a)

untuk a dalam A. Kemudian P adalah partisi dari A, dan R

adalah relasi ekivalen yang ditentukan oleh P.

Bukti:

Menurut definisi partisi, kita harus menampilkan dua
properti berikut

(a) Setiap elemen A dimiliki oleh beberapa himpunan relatif

(b) Jika R (a) dan R (b) tidak identik, maka R (a) ∩ R (b) = ф

 Properti (a) benar, karena a ∈ R (a) (refleksivitas)

Properti (b) setara dengan pernyataan berikut

Jika R (a) ∩ R (b) ≠ ф, maka R (a) = R (b) (p59 Teorema 2 b)

Asumsikan c∈ R (a) ∩ R (b), lalu a R c, b R c.

maka kita memiliki c R b (simetris)

a R c, c R b  a R b (transitivitas)

Oleh karena itu, R (a) = R (b) (oleh lemma 1)

 Kelas kesetaraan

Jika R adalah relasi ekivalen pada A, maka himpunan R (a)

(atau [a]) secara tradisional disebut kelas ekivalen dari R.

Partisi P yang dibangun dalam Teorema 2 terdiri dari semua

kelas ekivalen R, dan partisi ini akan dilambangkan dengan A /
R. (kumpulan quotients dari A)