Page 65 - e-book Calculcs I

เทียบสัมประสิทธิ์จะได้ระบบสมการ

3A + C = 1
−A + 3B = 1 }
−B + C = −2

4 3 7
แก้ระบบสมการได้ A = , B = และ C = − ฉะนั้น
5 5 5
2
x +x−2 ≡ 4 +3 - 7
2
2
3
3x −x +3 −1 5(x +1) 5(3x−1)

2
∫ x +x−2 dx = ∫ 4 +3 dx − ∫ 7 dx
2
2
3
3x −x +3 −1 5(x +1) 5(3x−1)
2
3
7
= ∫ d(x2+1) + ∫ dx − ∫ d(3x−1)
2
2
5 x +1 5 +1 15 (3x−1)
7
3
2
2
−1
= ln(x + 1) + tan x − ln|3x − 1| + C
5 5 15
นั่นคือ
2
7
3
2
−1
2
∫ x +x−2 dx = ln(x + 1) + tan x − ln|3x − 1| + C
2
3
3x −x +3 −1 5 5 15

4
3
2
3x + 3x − 5x + x − 1
5. จงหาค่าของ ∫ dx
x 2 + x − 2
เนื่องจากดีกรีของตัวเศษมากกว่าดีกรีของตัวส่วน ฉะนั้นท าการหารยาว(long division) ได้ดังนี้
2
3 +1
2
3
2
4
+ − 2 4443 + 3x − 5x + x − 1
2
3
4
3 + 3 − 6
2
+ − 1
2
+ − 1
1
ดังนั้น
2
3
4
3x + 3x − 5x + x − 1 = (3x + 1) + 1
2
2
2
x + x − 2 + x – 2
4
3
2
2
∫ 3x + 3x − 5x + x − 1 dx = ∫ [(3x + 1) + 1 ]dx
2
2
x + x − 2 + x – 2
3
= x + x + ∫ dx
2
+ x – 2
2
เนื่องจาก x + x − 2 = (x + 2)(x − 1) ดังนั้น
1 ≡ +
2
x + x − 2 x − 1 x+ 2
65