Page 49 - Algebra 2° Sec GM

Propiedades de las Capítulo 20

relaciones binarias

¿Cómo es el gráfico de las re-
laciones en R con las reglas de
correspondencia mostradas?
y = x ¿La relación de
amistad es de
y = –x equivalencia?

Relación Reflexiva
Una relación R en A es reflexiva si todos los elementos de A están relaciona-
2
dos consigo mismo.
2
R en A es reflexiva, si x A, (x; x)  R Matemática
en la vida
A R es reflexiva R no es re-
1
2
porque todos • flexiva porque Relación de amistad
1• 3• los elementos 1 el 2 no está La relación de amistad no es
de A están con • • relacionado de equivalencia, puesto que
3
2• 2
su bucle. consigo mismo. no es transitiva:
R = {(1; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 3)} R = {(1; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 3)} si a es amigo de b y b es
2
1
amigo de c, a no necesaria-
Relación simétRica mente es amigo de c.
Supongamos que (3; 5)  R. Para que sea simétrica, también (5; 3) debe per- Si la relación de amistad fue-
tenecer a R. ra de equivalencia, el mundo Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio (Álgebra)
R en A es simétrica, si (x; y) R  (y; x)  R estaría dividido en clases de
2
amigos (grupos de amigos).
A Es simétrica A No es simétrica
3 5 porque (3; 4) y 3 porque están
(4; 3) así como 5 (3; 5) y (4; 5)
(3; 5) y (5; 4) pero no (5; 3)
4 4
están en R 1 ni (5; 4)
R 1 R 2
 Geniomatic E.I.R.L. Prohibida su reproducción. D. Leg. N° 822
Problema 1 Problema 2
Calcule x + y, si R = {(3; 5), (7; x), (y; 3), (1; 7)} es una relación simétrica.
Calcule x + y, sabiendo que
Resolución: R = {(2; x + 2), (3; y – 1)}
Como (3; 5)  R  (5; 3)  R  y = 5
x + y = 1 + 5 = 6 es una relación reflexiva.
Como (1; 7)  R  (7; 1)  R  x = 1 Rpta.: 6
Resolución:

Se observa que R está defini-
Relación tRansitiva do en {2; 3}.
Supóngase que (3; 7)  R y (7; 2)  R. Para que R sea transitiva, (3; 2) debe Para que sea reflexiva debe Prohibida su reproducción total o parcial
pertenecer a R. contener (2; 2) y (3; 3).
2
R en A es transitiva, si (x; y) R  (y; z)  R  (x; z)  R Entonces:
x + 2 = 2  x = 0
A R es A R no es transitiva. y – 1 = 3  y = 4
3 1 3 2
7 transitiva 7 Están (3; 7) y (7; 2)  x + y = 0 + 4 = 4
1 1 pero no está (3; 2). Rpta.: 4
2 2 También está (3; 1) y
R 1 R 2 (1; 3) pero no está (3; 3)
Matemática 2 - Secundaria 119