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LA CUADRATURA DE LA PARÁBOLA DE ARQUÍMEDES

Vamos a examinar cómo aplicó Arquímedes el método de exhaución a la
cuadratura de la parábola. En ciertos aspectos, su tratamiento se asemeja a
la cuadratura del círculo del propio Euclides. La idea de fondo es la de «relle-
nar» el área de la parábola con triángulos inscritos, cuyas áreas se conocen,
y sumarlas. Dice Arquímedes:
Cuadratura de la parábola. La superficie de un segmento de parábola es
al triángulo inscrito como cuatro es a tres.
En el segmento de parábola ADCEBA consideramos el triángulo inscrito 1:,ACB,
donde el punto Ces el punto de la parábola por el cual la tangente a la parábola
es paralela a la cuerda AB. En estas condiciones Arquímedes afirmaba que la
superficie a(ADCEBA) es igual a cuatro tercios de la superficie del triángulo
T= 6 ACB. Es decir,
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a(ADCEBA) = - x a(1:,ABC) = - x T.
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Resta ahora «rellenar» con triángulos los segmentos parabólicos sucesivos
T¡ = 1:,AOC, T ª 1:,BEC; luego los triángulos inscribibles en ADA. DCD; y en CEC,
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BEB; y así indefinidamente, puesto que las magnitudes son infinitamente di-
visibles. Todos estos triángulos -que son infinitos- cubren una superficie

quedará una magnitud menor que la menor de las dos mag-
nitudes dadas.

Esta proposición es equivalente a la definición 4 del Libro V: si
una vale, la otra también, y recíprocamente. Arquímedes se percató
de este hecho y decidió darle rango de postulado. Hoy se conoce
con el nombre de postulado de Arquímedes. Brevemente dice:

Principio de arquimedianidad. Dadas dos magnitudes de
la misma especie A, B, siempre existe un número natural n
tal que nxA>B o nxB>A.

Con la demostración de la proposición 7 del Libro XII, Eucli-
des cerró un problema que tiene su origen en la matemática egip-

126 LA TEORÍA DE LA PROPORCIÓN Y EL MÉTODO DE EXHA UCIÓN