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Si AB y r t'!,,. son las bases de dos triángulos que se hallan entre
las mismas paralelas y son conmensurables, existe una medida
LM común que divide la base AB en m partes, y la rt'!,,., en n. Si
unimos los puntos que estas partes determinan en la base con los
vértices respectivos C y E tendremos, respectivamente, m , n,
triángulos iguales en superficie al triángulo 6LMN, en donde N es
un punto cualquiera de la paralela CE a la recta A. Luego,
6ABC = m x (6LMN), 6'1.I'E = m x (6LMN). Por consiguiente,
AB mxLM mx(6LMN) 6.ABC
t'!,,.I' n x LM n x (6.LMN) 6.ó.I'E
Pero, como hemos visto, cuando AB y rt'!,,. son arbitrarios, no
podemos saber si son conmensurables. De hecho, .todo segmento
tiene una infinidad de segmentos que le son inconmensurables
muy superior a la infinidad de los segmentos que le son conmen-
surables. La demostración anterior no es, pues, general; de hecho,
es muy particular.
Veamos la demostración en el caso general, esto es, en el
que se da la incomensurabilidad. Se precisa de otra demostra-

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FIG. 3
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FIG. 4
C E
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A B r

122 LA TEORÍA DE LA PROPORCIÓN Y EL MÉTODO DE EXHAUCIÓN