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ta.mente la mayor y; es decir, «no hay resto» ulterior. Si realizamos
el proceso inverso, se comprueba que z mide exactamente ax.
Al final, z mide a la vez a m y a n, y, por lo tanto, z es un divi-
sor común de m y n. Además, es el mayor divisor posible, puesto
que cualquier divisor d, común a m y a n, divide también a z.
Se dice así que z es el «máximo común divisor» de la pareja
inicial m y n. El conjunto de divisores comunes v de dos núme-
ros m y n suele expresarse como v = ( m , n). Si resulta que es la
unidad -esto es, si 1 = ( m, n )-, decimos que m y n «son primos
entre sí». Este método -o proceso- de sustracción mutua para
determinar las relaciones entre números se llama antiféresis. Lo
hemos visto anteriormente, en forma geométrica, al analizar, por
ejemplo, la «inconmensurabilidad» del lado y la diagonal de un
cuadrado. Una diferencia muy importante entre ambas aplicacio-
nes es que, en el caso de la aritmética, Euclides supone que el
proceso necesariamente se detiene. En cambio, en los ejemplos
geométricos, sigue de forma interminable.
En el Libro X, Euclides aplica este proceso a las magnitudes
en general, sean números o no, y establece la clasificación si-
guiente: la «antiféresis» llega al final si, y solo si, ambas magnitudes

EL ALGORITMO DE EUCLIDES EN FUNCIONAMIENTO

De la aplicación del algoritmo de Euclides se tiene que:
m=q •n+r, r,<n
0
n = q, • r, + r r < r,
2 2
r,=q2• r2+r3 r3< '2

Por un lado, ,._ = q._, · ,._, + ' • y, por otro, ,._, = q• ·r •. Así, ,._ = q._, · (q.- r. )+ ' • =
2 2
=(q._,•q• +1) ·' • donde q._,•q.+1 es un número natural. Luego'• mide exactamente
a ,._ • Por medio de un razonamiento análogo al anterior, pero hacia delante,
2
se comprueba que si d divide a m y a n, puesto que, por construcción
m=%·n+r,. entonces r,=m-q •n, con m=m,·d, n=n,·d. Luego r,=m,·d-(%·n,) ·d=
0
=(m,-(% ·n,)) ·d. Así, d divide ar,, como queríamos demostrar.

146 LA A RITMÉTICA EN LOS «ELEMENTOS»