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Libro VII, proposición 31. Todo número compuesto es me-
dido por un número primo.

Libro VII, proposición 32. Todo número o es primo o es
medido por un número primo.

Libro IX, proposición 14. El menor número que está medido por
varios números primos no tiene má.s divisores primos que estos.

Libro IX, proposición 20. Hay más números primos que
cualquier cantidad.finita de números primos.

En la demostración de la proposición 31 del Libro VII, Eucli-
des hace uso de un «postulado» no explícito. El sabio de Alejan-
dría razona del modo siguiente: Sea N un número compuesto,
tendrá un divisor - una parte- N' <N Supongamos que no es
primo. Entonces es a su vez compuesto y admite un divisor - una
parte- N" <N' <N; y sigamos ... No es posible que no se halle
nunca un número primo P pues tendríamos la sucesión decre-
ciente infinita ... <N"l < ... <N" <N' <N Y esto, dice Euclides, «es
imposible». Así pues, Euclides impone la imposibilidad de suce-
siones decrecientes ilimitadas de números naturales.

«Dios creó los números los números enteros; el resto
es cosa del hombre.»

- LEOPOLD KRONECKER (1823-1891).

A esta propiedad Pierre de Fermat la llamaría del descenso
infinito, e hizo uso de ella a la hora de alcanzar resultados impor-
tantísimos que se erigirían en un auténtico renacimiento de la
aritmética.
La proposición 14 del Libro IX es motivo de discusión acerca
de si se trata del teorema fundamental de la aritmética (todo
número entero mayor que 1 o es primo o puede ser expresado en
forma de producto de números primos, y dicha forma es única),
expresado con las limitaciones del lenguaje matemático de la

148 LA ARITMÉTICA EN LOS «ELEMENTOS»