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LAS TERNAS PITAGÓRICAS ARITMÉTICAS

Un último problema digno de mención es el del algoritmo para ob-
tener temas pitagóricas aritméticas; son tres números naturales que
cumplan el teorema de Pitágoras como, por ejemplo, 3, 4, 5; 5, 12,
2
13; etc. Es decir, tres números naturales a, b, e tales que a + b = c2.
2
Se cree que los babilonios conocían algún método para deter-
minar las temas pitagóricas, como muestra la tablilla mesopotá-
mica conocida por el número de catálogo Plimpton 322, que
contiene «ciertas» temas pitagóricas aritméticas expresadas en
sexagesimal. Por otro lado, se atribuye a Pitágoras un método
para obtener temas pitagóricas basado en el gnomon de los núme-
ros cuadrados. Un número es un número cuadrado cuando se
puede disponer en forma de cuadrado (véase la figura). Tenemos
pues n + (2n + 1) = ( n + l )2. Para que sea una tema pitagórica -en
2
Los números la cual un cateto y la hipotenusa son dos números sucesivos- el
cuadrados 2
sucesivos 1, 4, 9, gnomon debe ser también un cuadrado; es decir, 2n + 1 = k , para
16, ... , (n-1)', n'. un cierto número k impar. Luego:
Para pasar de
cn=n2 a c11•1=(n+1)2
k2-l k.
hay que añadir el n=--, impar.
gnomon que vale 2
precisamente
2 2
2n+1. Se pasa, 1 1
2
2
pues, de uno al Así se obtienen las temas, que son: n = k - , k, n + l = k + ,
siguiente por
medio de los
números impares. con k impar, que generan la tabla siguiente:
-------------------------------------,
! ,----,---,----,
1
... __ ..,. ___ ... __ _. 1
1
1
1
,----,---,
1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1 1 1
,----, .,_ - - _. _ - - ~ 2n+l ___..., ,- - - -,- - - ,- - - -,
1 1
1
.,_ __ .,. 1 1 1 ... __ ..,. ___ ... __ _. 1
1
1
1
1
----•---•
C¡ = 1
152 LA ARITMÉTICA EN LOS «ELEMENTOS»